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[答1148] 階乗の末尾の0の個数

ヤドカリ

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[答1148] 階乗の末尾の0の個数


 nを自然数とし、n! を十進法で表すときの 末尾に連続する0の個数を f(n) とします。

 例えば、3!=6 ,7!=5040 ,11!=39916800 だから f(3)=0 ,f(7)=1 ,f(11)=2 です。

 n=3,7,11 のとき、n-4・f(n)=3 が成り立ちますが、

 n=3,7,11 を含めて n-4・f(n)=3 が成り立つ 540 以下の自然数nは何個?


[解答]

 nを五進法で表した数字の和を g(n) とします。

 kを負でない整数として、nを五進法で表すときの 末尾に連続する4が k個のとき、

 1を加えると末尾のk桁がすべて0になり、その上の桁の数字が1増えるので、g(n+1)=g(n)-4k+1 、

 また、n+1 は 5k の倍数で、5k+1 の倍数でないので、f(n+1)=f(n)+k になります。

 よって、4・f(n+1)+g(n+1)=4{f(n)+k}+g(n)-4k+1=4・f(n)+g(n)+1 になり、

 4・f(1)+g(1)=4・0+1=1 ですので、

 {4・f(n)+g(n)}を数列と考えれば、初項が 1 で 公差が 1 の等差数列であり、

 4・f(n)+g(n)=n 、n-4・f(n)=g(n) です。

 本問の条件では、g(n)=3 ,n≦540 です。

 g(540)=1 ですので、n<540 としてよく、nを五進法で表すと 40桁以下です。

 1,5,52,53,……,539 から重複を許して3個を選んで、その和をnとすれば、g(n)=3 ですので、

 求める個数は、 403=40・41・42/3!=40・41・7=11480 です。

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Comments 10

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ニリンソウ  
No title

まだダリアが咲いてますね。
一気に冬にならないようにと願いつつ
可愛い花を見るとホッとします。

ナイス

スモークマン  
No title

グーテンターク ^^
5=4+1
5^2=4(5+1)+1
5^3=4(5^2+5+1)+1
から気づいたのですが...
一般にそう言えることはわからないまま...
a(n)*5^n+a(n-1)*5^(n-1)+...+a(1)*5+a(0)
の係数(1<=a(n)<=0, 0<=a(n-1)~a(0)<=3)の和=3
として考えました...^^
40H3でよかったことに解答読んで気づけましたわ ^^;☆ Orz~

ヤドカリ  
No title

ニリンソウさん、コメントをありがとうございます。
少し前に撮ったものですが、ダリアは長く楽しめる花ですね。
道端ですが、綺麗に咲いていました。

ヤドカリ  
No title

スモークマンさん、コメントをありがとうございます。
階乗の末尾の0の個数はよく出題されますので、ちょっと捻りました。
「解答読んで気づけましたわ」のコメントは嬉しいです。

POPS  
No title

こんばんは。
このダリアの色合いは初めて見ました。
花びらの周りが白いのも良きアクセントになっていて綺麗ですね~。
ナイス

ヤドカリ  
No title

POPSさん、コメントとナイス!をありがとうございます。
ダリアも何種類かの色がある花ですね。
いろいろな色に出会える楽しみがあります。

アキチャン  
No title

ダリア…友人が私を例えたくれたお花…なぜ?(笑)
綺麗ですね~(o^-^o)

樹☆  
No title

あっ
やっぱりダリアだった。
アネモネ咲きもいいですね。

ヤドカリ  
No title

アキチャンさん、コメントとナイス!をありがとうございます。
アキチャンさんって、ダリアのような方なのですか。
ブログでは顔が分からないので、初めて知りました。

ヤドカリ  
No title

樹ちゃん、コメントとナイス!をありがとうございます。
花弁が多いのでアネモネは連想できませんでした。
道端に咲いていたものですが、目を惹きました。