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[答1149] 漸化式で表される自然数の数列

ヤドカリ

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[答1149] 漸化式で表される自然数の数列


 すべての項が 1の位が 1 または 9 である自然数からなる数列{an}があって、

 a1=1 ,an+2=5an+1-6an (n=1,2,3,……) ,a7<10000 を満たします。

 この数列の第2項,第3項の組 (a2,a3)=?


[解答]

 an+2=5an+1-6an より an+2-2an+1=3(an+1-2an) 、数列{an+1-2an}は 公比が 3 の等比数列、

 a2-2a1=p とすれば、an+1-2an=p・3n-1 ……(1) 、

 an+2=5an+1-6an より an+2-3an+1=2(an+1-3an) 、数列{an+1-3an}は 公比が 2 の等比数列、

 a2-3a1=q とすれば、an+1-3an=q・2n-1 ……(2) 、

 (1)-(2) より an=p・3n-1-q・2n-1 、a1=p-q=1 だから、an=p・3n-1+(1-p)・2n-1 です。

 以下、合同式を mod 10 とします。

 kが自然数であれば、2k(4+1)≡0 ,3k(9+1)≡0 なので、2k+2≡-2k ,3k+2≡-3k

 n≧2 のとき an+2≡-an になり、a2,a3 の1の位が 1 または 9 であれば、

 すべての自然数nについて an の1の位が 1 または 9 になります。

 a3=9p+4(1-p)>0 なので、p>-4/5 、0≦p で、

 a7=729p+64(1-p)<10000 なので、p<9936/665 、p≦14 です。

 a2=p+2≡1,9 より、p≡9,7 であり、0≦p≦14 ですので、p=9,p=7 です。

 (a2,a3)=(p+2,5p+4)=(11,49),(9,39) です。


 なお、an=3n+1-2n+2 ,an=7・3n-1-3・2n です。

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Comments 12

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ひとりしずか  
No title

ブラシの木ですか?
花期が4~6月あたりだから……
澄んだ赤い色の雄しべがはなやか!

樹☆  
No title

おはようございます
寒い朝です。
ブラシノキですか?大掃除しなけりゃ。。

今年も最後の月となりましたがどうぞよろしく
お願いします。

ニリンソウ  
No title

ブラシの木にまだ花がみれましたね。
陽射しも暖かそう~

ナイス

アキチャン  
No title

こんばんわ。
もう咲いているのですね。鮮やかな真っ赤できれいですね♪
探しに散策をしにいかなくちゃ。。(o^-^o)

スモークマン  
No title

グーテンアーベント ^^
なんの工夫もなく...下一桁が満たすものを求めていきましたです ^^;;
項数が大きかったらお手上げでした...Orz...

POPS  
No title

こんばんは。
ブラシノキでしょうか。
そろそろ年末の大掃除の時期になりますね。
一年あっという間です。
ナイス

ヤドカリ  
No title

ひとりしずかさん、早速のコメントとナイス!をありがとうございます。
仰る通り、ブラシの木で、初夏に咲く花ですが、
狂い咲きでしょうか、つい先日にも見かけました。

ヤドカリ  
No title

樹ちゃん、早速のコメントとナイス!をありがとうございます。
大掃除を連想させる目的でアップしたわけではありませんが、
季節外れに咲いていたので撮りました。
早いもので、今年も師走となりましたね。

ヤドカリ  
No title

ニリンソウさん、早速のコメントをありがとうございます。
暖かい日に撮りましたが、春と違って花は少ないです。
狂い咲きかもしれませんが、秋は寂しいです。

ヤドカリ  
No title

アキチャンさん、コメントとナイス!をありがとうございます。
「もう咲いている」というより「まだ残っている」のが正しいです。
この時期に咲いてくれることは嬉しいことです。

ヤドカリ  
No title

スモークマンさん、コメントとナイス!をありがとうございます。
「項数が大きかったら」対数でも使わないと手に負えないです。
累乗を使う漸化式で数値を求める問題には限界があります。

ヤドカリ  
No title

POPSさん、コメントとナイス!をありがとうございます。
仰る通り、ブラシの木です。一年あっという間ですが、
こうして貴殿とコメントのやり取りできるようになったのは収穫です。