[答1151] 正方形内の四角形の面積

[答1151] 正方形内の四角形の面積


　正方形ABCDの 辺BCを 20：13 に内分する点をP，∠BAP＝∠PAQ を満たす辺CD上の点をQ とします。

　△ABP＝80 のとき 四角形APCQ＝？


[解答1]

　tan∠BAP＝20/(20＋13)＝20/33 だから、

　tan∠DAQ＝1/tan∠QAB＝1/tan2∠BAP＝(1－tan²∠BAP)/(2tan∠BAP)

　 ＝(1－20²/33²)/(2･20/33)＝(33²－20²)/(2･20･33)＝(689/40)/33 、

　よって、BP：DQ：QC＝20：689/40：(33－689/40) になり、

　△ABP：四角形APCQ＝BP：(PC＋QC)＝20：(13＋33－689/40)＝20：1151/40＝80：1151/10 になり、

　四角形APCQ＝1151/10＝115．1 です。


[解答2]

　AQの延長とBCの延長の交点をRとし、BP：BC:BR＝20：33：x とします。

　BA：AR＝BP：PR より BA²：AR²＝BP²：PR² 、33²：(33²＋x²)＝20²：(x－20)² 、

　33²(x－20)²＝20²(33²＋x²) 、1089(x²－40x＋400)＝400(1089＋x²) 、689x＝33²･40 です。

　QC：AB＝CR：BR＝(x－33)：x＝(33²･40－689･33)：33²･40＝(1320－689)：1320＝631：1320 、

　AB：BP：PC＝33：20：13＝1320：800：520 だから、BP：PC：CQ＝800：520：631 、

　△ABP：四角形APCQ＝BP：(PC＋CQ)＝800：(520＋631)＝800：1151 、

　△ABP＝80 より 四角形APCQ＝115．1 です。


[解答3]

　△AQD≡△ASB になるように点Sをとれば、∠SAP＝∠PAD＝∠APS になり、SA＝SP です。

　三平方の定理より AB²＝SA²－SB²＝(SA－SB)(SA＋SB) で、

　BP＝20k ，PC＝13k とすれば、AB＝33k ，SB＝SA－20k だから、

　(33k)²＝(SA－SA＋20k)(SA＋SA－20k) 、1089k²＝20k(2SA－20k) 、

　2SA－20k＝1089k/20 、SA＝1489k/40 、SB＝1489k/40－20k＝689k/40 、DQ＝SB＝689k/40 です。

　△ABP：四角形APCQ＝BP：(PC＋QC)＝20k：(13k＋33k－689k/40)＝20：1151/40＝80：1151/10 になり、

　四角形APCQ＝1151/10＝115．1 です。

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