[答1151] 正方形内の四角形の面積
[答1151] 正方形内の四角形の面積
正方形ABCDの 辺BCを 20:13 に内分する点をP,∠BAP=∠PAQ を満たす辺CD上の点をQ とします。
△ABP=80 のとき 四角形APCQ=?
[解答1]
tan∠BAP=20/(20+13)=20/33 だから、
tan∠DAQ=1/tan∠QAB=1/tan2∠BAP=(1-tan2∠BAP)/(2tan∠BAP)
=(1-202/332)/(2・20/33)=(332-202)/(2・20・33)=(689/40)/33 、
よって、BP:DQ:QC=20:689/40:(33-689/40) になり、
△ABP:四角形APCQ=BP:(PC+QC)=20:(13+33-689/40)=20:1151/40=80:1151/10 になり、
四角形APCQ=1151/10=115.1 です。
[解答2]
AQの延長とBCの延長の交点をRとし、BP:BC:BR=20:33:x とします。
BA:AR=BP:PR より BA2:AR2=BP2:PR2 、332:(332+x2)=202:(x-20)2 、
332(x-20)2=202(332+x2) 、1089(x2-40x+400)=400(1089+x2) 、689x=332・40 です。
QC:AB=CR:BR=(x-33):x=(332・40-689・33):332・40=(1320-689):1320=631:1320 、
AB:BP:PC=33:20:13=1320:800:520 だから、BP:PC:CQ=800:520:631 、
△ABP:四角形APCQ=BP:(PC+CQ)=800:(520+631)=800:1151 、
△ABP=80 より 四角形APCQ=115.1 です。
[解答3]
△AQD≡△ASB になるように点Sをとれば、∠SAP=∠PAD=∠APS になり、SA=SP です。
三平方の定理より AB2=SA2-SB2=(SA-SB)(SA+SB) で、
BP=20k ,PC=13k とすれば、AB=33k ,SB=SA-20k だから、
(33k)2=(SA-SA+20k)(SA+SA-20k) 、1089k2=20k(2SA-20k) 、
2SA-20k=1089k/20 、SA=1489k/40 、SB=1489k/40-20k=689k/40 、DQ=SB=689k/40 です。
△ABP:四角形APCQ=BP:(PC+QC)=20k:(13k+33k-689k/40)=20:1151/40=80:1151/10 になり、
四角形APCQ=1151/10=115.1 です。
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