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[答1151] 正方形内の四角形の面積

ヤドカリ

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[答1151] 正方形内の四角形の面積


 正方形ABCDの 辺BCを 20:13 に内分する点をP,∠BAP=∠PAQ を満たす辺CD上の点をQ とします。

 △ABP=80 のとき 四角形APCQ=?


[解答1]

 tan∠BAP=20/(20+13)=20/33 だから、

 tan∠DAQ=1/tan∠QAB=1/tan2∠BAP=(1-tan2∠BAP)/(2tan∠BAP)

  =(1-202/332)/(2・20/33)=(332-202)/(2・20・33)=(689/40)/33 、

 よって、BP:DQ:QC=20:689/40:(33-689/40) になり、

 △ABP:四角形APCQ=BP:(PC+QC)=20:(13+33-689/40)=20:1151/40=80:1151/10 になり、

 四角形APCQ=1151/10=115.1 です。


[解答2]

 AQの延長とBCの延長の交点をRとし、BP:BC:BR=20:33:x とします。

 BA:AR=BP:PR より BA2:AR2=BP2:PR2 、332:(332+x2)=202:(x-20)2

 332(x-20)2=202(332+x2) 、1089(x2-40x+400)=400(1089+x2) 、689x=332・40 です。

 QC:AB=CR:BR=(x-33):x=(332・40-689・33):332・40=(1320-689):1320=631:1320 、

 AB:BP:PC=33:20:13=1320:800:520 だから、BP:PC:CQ=800:520:631 、

 △ABP:四角形APCQ=BP:(PC+CQ)=800:(520+631)=800:1151 、

 △ABP=80 より 四角形APCQ=115.1 です。


[解答3]

 △AQD≡△ASB になるように点Sをとれば、∠SAP=∠PAD=∠APS になり、SA=SP です。

 三平方の定理より AB2=SA2-SB2=(SA-SB)(SA+SB) で、

 BP=20k ,PC=13k とすれば、AB=33k ,SB=SA-20k だから、

 (33k)2=(SA-SA+20k)(SA+SA-20k) 、1089k2=20k(2SA-20k) 、

 2SA-20k=1089k/20 、SA=1489k/40 、SB=1489k/40-20k=689k/40 、DQ=SB=689k/40 です。

 △ABP:四角形APCQ=BP:(PC+QC)=20k:(13k+33k-689k/40)=20:1151/40=80:1151/10 になり、

 四角形APCQ=1151/10=115.1 です。

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Comments 14

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ひとりしずか  
No title

セイヨウアサガオでしょうか~
葉の緑と花が生き生きしてますネ

樹☆  
No title

おはようございます
オーシャンブルーですね。
越冬しそうなくらいきれいに咲いてます。
寒くなると沖縄に行きたいなと思うわたしです。

ニリンソウ  
No title

こんにちは~
アサガオも秋になっても咲いてる花があるなぁ~
と思ったりしていましたが
これは葉も生き生きですね「西洋アサガオ」でしょうか。

ナイス

ゆうこ つれづれ日記  
No title

朝顔だね~~~
この季節にこのようなさ美しいお花が見られると
気分も爽やか~~になります。
ナイス☆

昨夜はまた雪が降り寝るときに外を見ると
吹雪いていました。
雪があるって何かと大変です。

スモークマン  
No title

グーテンアーベント ^^
[解答2]も[解答3]も形は考えたのですが...
どう扱えばいいのか思い至らず...無難な[解答1]で...^^;v
熟読玩味ぃ~ですばい ^^;...Orz...

POPS  
No title

こんばんは。
朝顔でしょうか?
冬の朝顔も鮮やかで綺麗ですね~。
あっという間に年末になってしまいますね。
ナイス

ヤドカリ  
No title

ひとりしずかさん、早速のコメントとナイス!をありがとうございます。
仰る通り、セイヨウアサガオです。
この色は海がイメージされますので、私は琉球朝顔のほうがシックリきます。

ヤドカリ  
No title

樹ちゃん、早速のコメントとナイス!をありがとうございます。
仰る通り、オーシャンブルーです。
初冬まで咲いていますが、色はだんだんピンクが目立つようになりました。
寒くなると、沖縄に行きたいですね。私もそうです。

ヤドカリ  
No title

ニリンソウさん、早速のコメントとナイス!をありがとうございます。
仰る通り、オーシャンブルーという西洋アサガオです。
初冬にも生き生き咲いています。ただ、花は少なくなりました。

ヤドカリ  
No title

ゆうこさん、早速のコメントとナイス!をありがとうございます。
北海道は寒いでしょうね。此方でさえ、風の強い今日は非常に寒いです。
そんな中、朝顔の元気な姿にはこころ癒されます。

ヤドカリ  
No title

スモークマンさん、コメントとナイス!をありがとうございます。
三角比を使う[解答1]が楽ですね。
なるべく低レベルの知識で解こうとすれば、
[解答2]も[解答3]のような工夫が必要です。

ヤドカリ  
No title

POPSさん、コメントとナイス!をありがとうございます。
この季節になっても見られる琉球朝顔です。花期も長いです。
仰る通り、あっという間の年末です。
平成も1年4か月余りですね。

アキチャン  
No title

こんにちわ。
朝顔は、夏を思いますが、長く見れますね(o^-^o)

ヤドカリ  
No title

アキチャンさん、コメントとナイス!をありがとうございます。
琉球朝顔はかなり長期間咲いています。
このオーシャンブルーの色も気に入っています。