FC2ブログ

Welcome to my blog

[答1152] 十二角形の面積

ヤドカリ

ヤドカリ



[答1152] 十二角形の面積


 図のような、1辺が 48 の正方形の4個の頂点における内角が 30゚ で、他の8個の内角が 210゚ で、

 すべての辺の長さが等しい十二角形の面積は?


[解答1]

 十二角形の1辺を a ,正方形の1辺を b とすれば、その面積は、

 内角が 30゚,120゚ で、3辺の長さが a で1辺の長さが b の等脚台形4個の面積を引いたもので、

 b=a+2・(√3)a/2=(1+√3)a になり、4個分の面積は、

 4・(a+b)(a/2)/2=(a+b)a=(2+√3)a2=(4+2√3)a2/2=(1+√3)2a2/2=b2/2 、

 求める十二角形の面積は b2-b2/2=b2/2 です。

 本問では b=48 の場合で、482/2=1152 です。


[解答2]

 もとの正方形の対角線の長さを 2c とすれば、面積は 2c2 です。

 正方形の各辺に、これを斜辺とする直角二等辺三角形を外側につければ、

 外側に1辺が 2c の正方形ができ、その面積は 4c2 です。

 図のように、外側の正方形の頂点ともとの十二角形の内角が 210゚ の頂点を結べば、

 2辺の長さが c でその間の角が 30゚ の二等辺三角形12個ができ、

 12個分の面積は、12・c(c/2)/2=3c2 だから、

 求める十二角形の面積は 4c2-3c2=c2 で、もとの正方形の面積 2c2 の 1/2 です。

 よって、482/2=1152 です。


[解答3] [解答2]と等価ですが……

 正方形と十二角形に挟まれる台形を正方形の外に折り返すと、

 正方形と同じ外接円をもつ正十二角形ができ、正十二角形の面積は正方形の 3/2 倍です。

 よって、求める十二角形の面積をSとすれば、S+(3/2)・482=2・482 、S=(1/2)・482=1152 です。 

.

スポンサーサイト



Comments 9

There are no comments yet.
ニリンソウ  
No title

おはようございます。
素敵なモミジ葉ですね、一枚で赤、黄色、緑、日照と気温とで
アントシアニンが働くのでしょうか。
赤一色もあったりするのだから紅葉って不思議です。

ナイス

ひとりしずか  
No title

こんなに彩りのモミジは目にしたことないような~

樹☆  
No title

こんばんは
切り取っての写真が
まるで一枚の絵はがきのように
美しいです。
光がちょこっと差し込んでるのが
素敵です。

POPS  
No title

1こんばんは。
黄色と赤のモミジが鮮やかで綺麗ですね~。
紅葉ももうお終いですが、冬の風景も楽しみたいものです。
ナイス

ヤドカリ  
No title

ニリンソウさん、早速のコメントとナイス!をありがとうございます。
我が家の庭に置いてある鉢植えのモミジです。
赤や黄や緑が混じっていて、私の好きな色合いです。

ヤドカリ  
No title

ひとりしずかさん、早速のコメントとナイス!をありがとうございます。
同じ葉に色が混じっているのが私の気に入りです。
このモミジの葉に毎年会えるのが楽しみです。

ヤドカリ  
No title

スモークマンさん、コメントとナイス!をありがとうございます。
正十二角形からの連想で作問しました。
[解答2]の図を得て、簡単ながら出題する気分になりました。

ヤドカリ  
No title

樹ちゃん、コメントとナイス!をありがとうございます。
この頃、朝晩が暗いので、撮る機会を逸していました。
休日の昼間に見るといろんな色が見られました。

ヤドカリ  
No title

POPSさん、コメントとナイス!をありがとうございます。
モミジも終わりに近づきました。
もう少し前に撮ると黒ずんだ部分もなかったかも知れません。