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[答111] 同色を取り出す確率

ヤドカリ

ヤドカリ



[答111] 同色を取り出す確率


 袋の中に赤球・青球が沢山はいっています。

 同時に3球を取り出すとき、3球とも同じ色である確率は 27/37 です。

 同時に2球を取り出すときの、同じ色である確率は?


[解答1]

 1球ずつ3回取り出すと考えても確率は変わりません。

 取り出し方と確率を、

 (赤,赤,赤)確率p,(赤,赤,青)確率q,(赤,青,赤)確率q,(青,赤,赤)確率q,

 (青,青,赤)確率r,(青,赤,青)確率r,(赤,青,青)確率r,(青,青,青)確率s

 とすれば、p+3q+3r+s=1,p+s=27/37 となります。

 このうち、最初2回が同色になる p+q+r+s を求めればよいので、

 p+q+r+s={(p+3q+3r+s)+2(p+s)}/3=(1+2・27/37)/3=91/111 となります。

☆ 3球が同色になる確率が 27/37 になる場合があるかどうかを確認していません。


[解答2]

 赤球をa個, 青球をb個とします。

 同時に3球を取り出すとき、3球とも同色になる確率は、

 {a(a-1)(a-2)+b(b-1)(b-2)}/(a+b)(a+b-1)(a+b-2)

  =(a3+b3-3a2-3b2+2a+2b)/{(a+b)(a+b-1)(a+b-2)}

  ={(a+b)3-3ab(a+b)-3(a+b)2+6ab+2(a+b)}/{(a+b)(a+b-1)(a+b-2)}

  ={(a+b)(a+b-1)(a+b-2)-3ab(a+b-2)}/{(a+b)(a+b-1)(a+b-2)}

  =1-3ab/{(a+b)(a+b-1)}

  1-3ab/{(a+b)(a+b-1)}=27/37 より、ab/{(a+b)(a+b-1)}=10/111。

 同時に2球を取り出すとき、2球が同色になる確率は、

 {a(a-1)+b(b-1)}/(a+b)(a+b-1)

  =(a2+b2-a-b)/{(a+b)(a+b-1)}

  ={(a+b)2-2ab-(a+b)}/{(a+b)(a+b-1)}

  ={(a+b)(a+b-1)-2ab}/{(a+b)(a+b-1)}

  =1-2ab/{(a+b)(a+b-1)}=1-2・10/111=91/111 となります。

☆ ab/{(a+b)(a+b-1)}=10/111 となる例としては、{a,b}={11,100},{100,900} 等があります。

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Comments 18

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ヤドカリ  
No title

他に、{a,b}={900,8091},{79121,711200} もあります。

ヤドカリ  
No title

crazy_tomboさん、atc*ykさんの解法は、[解答1]で、
p+q+r+s=(p+s)+{(p+3q+3r+s)-(p+s)}/3
=27/37+(1-27/37)/3=91/111 とされたのでしょうか?

-  
No title

僕は[解答2]の方でがんばろうとしていたのですが、途中で挫折しました。[解答1]だと分かりやすいですね。

ヤドカリ  
No title

M'mθさん、コメントを有難う御座います。
[解答1]は分かりやすいのですが、
前提になっている球の数が存在するかどうか分かりません。
まあ、仮定が偽のとき結論の真偽に関わらず、条件文としては真ですが、
そのような例が存在するかどうかは気になるところです。
その最も簡単な例として問題番号を使いました。

スモークマン  
No title

グーテンアーベント ^^

f(2)=2個が同色の場合
f(3)=3色が同色の場合

3色の並び方は...000,00x,0x0,x00,xxx,xx0,x0x,0xx の8種類
f(3)={000,xxx}=27/37
1-f(3)={00x,0x0,x00,xx0,x0x,0xx}の6個のうち、{00x,xx0}の2個もf(2)に含まれているので...
f(2)=f(3)+(1-f(3))*(2/6)
=27/37+(1/27/37)/3
と考えました...^^v

ヤドカリ  
No title

crazy_tomboさん、コメントを有難う御座います。
{00x,0x0,x00,xx0,x0x,0xx}の6個のうち、
{00x,0x0,x00}が同確率、{xx0,x0x,0xx}が同確率だから成り立ちます。

スモークマン  
No title

>やどかりさんへ ^^
そっか...してみると...怪しげな解法だったってことね...^^;? Orz...

スモークマン  
No title


そっか...貴殿のおっしゃる意味が分かりました...♪
比例的に常に成立するわけだ !!

ヤドカリ  
No title

crazy_tomboさん、コメントを有難う御座います。
正直言って、解法が正しいかどうかは判断出来ませんでした。
答の求め方としては最も簡潔ですね。

uch*n*an  
No title

一般に,球の総数を n 個,赤球を r 個,
球を m 個取り出したときにすべて同じ色になる確率を p(n,r,m) とすると,
p(n,r,2k+1) = p(n,r,2k) - (1 - p(n,r,3))/3 * p(n-2,r-1,2k-1)
p(n,r,1) = 1
になるようです。この問題では,
p(n,r,3) = p(n,r,2) - (1 - p(n,r,3))/3 * p(n-2,r-1,1)
p(n,r,3) = p(n,r,2) - (1 - p(n,r,3))/3
p(n,r,2) = (2 * p(n,r,3) + 1)/3
ですね。p(n,r,3) = 27/37 なので,p(n,r,2) = 91/111 です。

uch*n*an  
No title

なお,この問題での n,r の値ですが,
111r^2 - 111nr + 10n(n-1) = 0
を満たす自然数解になります。少し考えてみたのですが,
n の条件をある程度は絞れるものの,一般にはうまく解けませんでした。
ちなみに,有理数解は,a,b を整数として,
r = 10ab/(10a^2 - 111ab + 111b^2)
n = 10a^2/(10a^2 - 111ab + 111b^2)
になるようなので,これから自然数を拾う方法もあるのですが...

tsuyoshik1942  
No title

解1気づかず!他の方のコメントもうれし!

解答の開示で目が覚めるのはこの問題に限りません。
解くのと同じく楽しみにしております。

アキチャン  
No title

こんばんわ。
白いディジーかしら・・・清楚で、かわいいですね (o^-^o)

ヤドカリ  
No title

uch*n*anさん、コメントを有難う御座います。
p(n,r,2k+1) = p(n,r,2k) - (1 - p(n,r,3))/3 * p(n-2,r-1,2k-1)
は考えても見ませんでした。
どうやら成り立つようですね。検証するだけでも時間がかかりました。
個数の一般解はこの前も記しましたように、ペルの方程式より厄介です。
PCに計算させると例は出るのですが……。

ヤドカリ  
No title

tsu*o*hi*194*さん、コメントを有難う御座います。
これからも、解答記事にもコメントを下さいね。よろしくお願いします。

ヤドカリ  
No title

アキチャンさん、コメントを有難う御座います。
これと赤いのが大仙公園の近くに植えられていて、思わずカメラを向けました。
デイジーの1種のような気がしますが、正確にはどうでしょうか?

いっちゃん  
No title

白色はやはりいいですね。。白い花は無条件で好きです。笑
ふんわりわたぼうしみたい☆☆

すごい!!みなさんの解答みてもさっぱりです。ポチ

ヤドカリ  
No title

いっちゃん、コメントとポチを有難う御座います。
あまりにも鮮やかな白でしたので、カメラを向けました。