FC2ブログ

Welcome to my blog

[答1154] 三角形の角の正接

ヤドカリ

ヤドカリ



[答1154] 三角形の角の正接


 ∠BAC=150゚ の △ABCの 辺BCを 6:1 に内分する点をD ととります。∠BAD=120゚ のとき tan∠B=?


[解答1]

 Aから 辺BCにおろした垂線を AH とし、tan∠BAH=T とします。

 tan∠DAH=tan(120゚-∠BAH)=(tan120゚-tan∠BAH)/(1+tan120゚tan∠BAH)=(-√3-T)/(1-T√3) 、

 tan∠CAH=tan(150゚-∠BAH)=(tan150゚-tan∠BAH)/(1+tan150゚tan∠BAH)=(-1/√3-T)/(1-T/√3)

  =(-1-T√3)/(√3-T) です。

 BD:BC=6:7 より、(BH+HD):(BH+HC)=6:7 、7(BH+HD)=6(BH+HC) 、BH+7HD-6HC=0 、

 AH・tan∠BAH+7AH・tan∠DAH-6AH・tan∠CAH=0 、tan∠BAH+7tan∠DAH-6tan∠CAH=0 、

 T+7(-√3-T)/(1-T√3)-6(-1-T√3)/(√3-T)=0 、

 T(1-T√3)(√3-T)+7(-√3-T)(√3-T)-6(-1-T√3)(1-T√3)=0 、

 T(√3-T-3T+T2√3)+7(-3+T2)-6(-1+3T2)=0 、

 T(1+T2)√3-4T2-21+7T2+6-18T2)=0 、T(1+T2)√3-15(1+T2)=0 、T√3-15=0 、

 T=15/√3 、tan∠B=1/T=(√3)/15=0.1154700…… です。


[解答2]

 AB=c ,AC=b ,BD=6k ,DC=k とします。

 △ABDにおいて正弦定理より、6k/sin120゚=c/sin∠ADB 、6k・sin∠ADB=c・sin120゚ 、

 △ADCにおいて正弦定理より、k/sin30゚=b/sin∠ADC 、b・sin30゚=k・sin∠ADC だから、

 6kb・sin30゚・sin∠ADB=ck・sin120゚・sin∠ADC 、6b・sin30゚=c・sin120゚ 、6b=c√3 、c=2b√3 です。

 △ABCにおいて余弦定理より、(7k)2=b2+c2-2bc・cos150゚ 、49k2=b2+12b2+6b2 、19b2=49k2 です。

 △ABCにおいて余弦定理より、

 cos∠B=(49k2+c2-b2)/(2・7k・c)=(49k2+12b2-b2)/(2・7k・2b√3)=(49k2+11b2)/(4・7k・b√3)

 1/cos∠B=4・7k・b(√3)/(49k2+11b2)=4・b(√19)・b(√3)/(19b2+11b2)=4(√57)/30=2(√57)/15 、

 tan2∠B=1/cos2∠B-1=4・57/225-1=3/225 、tan∠B=(√3)/15=0.1154700…… です。


[解答3]

 ACは △ABDの ∠Aの外角の二等分線なので、BA:AD=BC:CD=7:1 、AB=7AD です。

 2sin∠ADB=2sin∠ADC=2sin(∠B+120゚)=2sin∠Bcos120゚+2cos∠Bsin120゚=-sin∠B+(√3)cos∠B 、

 △ABDにおいて正弦定理より、AD/sin∠B=AB/sin∠ADB 、ABsin∠B=ADsin∠ADB 、

 7ADsin∠B=ADsin∠ADB 、14sin∠B=2sin∠ADB 、14sin∠B=-sin∠B+(√3)cos∠B 、

 15sin∠B=(√3)cos∠B 、tan∠B=(√3)/15=0.1154700…… です。

.

スポンサーサイト



Comments 10

There are no comments yet.
ひとりしずか  
No title

イソギク
小さな黄色い花を房状に咲かせる姿が美しいですネ
近くにあるのですが、一番いいとき取り損ねてしまいました

樹☆  
No title

おはようございます。
12月という季節に鮮やかな黄色のお花は暖かく感じます。
磯菊って、よく見ると花びらは
ないのですね。

ニリンソウ  
No title

いそぎくがまだ見れますか!
葉の裏が白いですね。

来週からは孫達も冬休みになります。
ナイス

スモークマン  
No title

グーテンターク ^^
これは、不得手な外角の二等分線の性質を思い出して求めることができましたわ ^^♫

この🌼...見たことないなぁ...^^;...?

ヤドカリ  
No title

ひとりしずかさん、早速のコメントとナイス!をありがとうございます。
イソギクはかなり長い間咲いていますね。
私も撮り損ねそうなので、慌てて撮りました。

ヤドカリ  
No title

樹ちゃん、早速のコメントとナイス!をありがとうございます。
12月にでも咲いているイソギク、黄色で暖かく感じます。
花は筒状花のみで舌状花ではないので、外側に花びら状の花が並ばないです。

ヤドカリ  
No title

ニリンソウさん、コメントをありがとうございます。
此方では12月になってもまだ咲き残っています。
長い間、咲いてくれているのが嬉しいです。
ところで、月日の流れは早いですね。
もうすぐ小学生?中学生?も冬休みなのですね。

ヤドカリ  
No title

スモークマンさん、コメントとナイス!をありがとうございます。
この問題は外角の二等分線に気づけば早いですね。
それを意図して角度を設定しました。

POPS  
No title

こんばんは。
お~イソギクが綺麗に咲いてますね~。
ブロ友さんの画像では何度か見たのですが、実際には見た事のない花の一つです。
ナイス

ヤドカリ  
No title

POPSさん、コメントとナイス!をありがとうございます。
イソギクは元々千葉県~静岡県の海岸に自生するらしいのですが、
近頃はよく栽培されています。
私も時々目にすることがありますので、POPSさんもいずれ出会えるものと思います。