[答1155] 不定方程式の解の個数

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[答1155] 不定方程式の解の個数


　ｎを自然数の定数として、4x²－y²＝n を満たす自然数の組(x，y)を考えます。

　例えば n＝15 とすれば、4x²－y²＝15 、(x，y)＝(2，1)，(4，7) です。　

　n＝15 のとき 解(x，y)は２組ですが、解(x，y)がちょうど８組あるとき n＝？

　この条件を満たすｎは無限にありますので、小さい順に３個を求めてください。


[解答]

　(2x＋y)(2x－y)＝n ですので、2x＋y＝a ，2x－y＝b とおけば、ab＝n ，a＞b で、

　x＝(a＋b)/4 ，y＝(a－b)/2 が自然数だから、a＋b は４の倍数であればよいことになります。

　以下、合同式は mod 4 とします。a＋b≡0 なので、

　「a≡1，b≡－1 または a≡－1，b≡1」，「a≡0，b≡0」，「a≡2，b≡2」の場合があります。

　「a≡1，b≡－1 または a≡－1，b≡1」 のときは、n≡－1 で n が 16個の約数をもつとき、

　　小さい方から　n＝3･5･7･11，3³･5･13，3･5･7･19＝1155，1755，1995 、

　「a≡0，b≡0」 のときは、(a/4)(b/4)＝n/16 が 16個の約数をもつときで、

　　小さい方から　n/16＝2³･3･5，2³･3･7，2･3･5･7 、n＝1920，2688，3360 、

　「a≡2，b≡2」 のときは、(a/2)(b/2)＝n/4 が 奇数で 16個の約数をもつとき、

　　最小のものは　n/4＝3³･5･7 、n＝3780

　ですので、小さい３個は n＝1155，1755，1920 です。

　なお、5000以下では、n＝1155，1755，1920，1995，2079，2295，2415，2688，

　　3003，3135，3255，3315，3360，3375，3456，3591，3780，3795，3915，3927，

　　4224，4320，4347，4480，4515，4620，4875，4935，4992，4995 の30個が該当します。

　また、(x，y)が丁度９組あるときの最小のｎは n＝3²･5²･7＝1575 です。

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