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[答1155] 不定方程式の解の個数

ヤドカリ

ヤドカリ


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[答1155] 不定方程式の解の個数


 nを自然数の定数として、4x2-y2=n を満たす自然数の組(x,y)を考えます。

 例えば n=15 とすれば、4x2-y2=15 、(x,y)=(2,1),(4,7) です。 

 n=15 のとき 解(x,y)は2組ですが、解(x,y)がちょうど8組あるとき n=?

 この条件を満たすnは無限にありますので、小さい順に3個を求めてください。


[解答]

 (2x+y)(2x-y)=n ですので、2x+y=a ,2x-y=b とおけば、ab=n ,a>b で、

 x=(a+b)/4 ,y=(a-b)/2 が自然数だから、a+b は4の倍数であればよいことになります。

 以下、合同式は mod 4 とします。a+b≡0 なので、

 「a≡1,b≡-1 または a≡-1,b≡1」,「a≡0,b≡0」,「a≡2,b≡2」の場合があります。

 「a≡1,b≡-1 または a≡-1,b≡1」 のときは、n≡-1 で n が 16個の約数をもつとき、

  小さい方から n=3・5・7・11,33・5・13,3・5・7・19=1155,1755,1995 、

 「a≡0,b≡0」 のときは、(a/4)(b/4)=n/16 が 16個の約数をもつときで、

  小さい方から n/16=23・3・5,23・3・7,2・3・5・7 、n=1920,2688,3360 、

 「a≡2,b≡2」 のときは、(a/2)(b/2)=n/4 が 奇数で 16個の約数をもつとき、

  最小のものは n/4=33・5・7 、n=3780

 ですので、小さい3個は n=1155,1755,1920 です。

 なお、5000以下では、n=1155,1755,1920,1995,2079,2295,2415,2688,

  3003,3135,3255,3315,3360,3375,3456,3591,3780,3795,3915,3927,

  4224,4320,4347,4480,4515,4620,4875,4935,4992,4995 の30個が該当します。

 また、(x,y)が丁度9組あるときの最小のnは n=32・52・7=1575 です。

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Comments 13

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ひとりしずか  
No title

ソテツかなぁ~……
南国を思う青い空に緑のそびえるように葉…

今朝は0℃、

アキチャン  
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おはようございます。
青空のヤシ♪南国のようですね(o^-^o)

ニリンソウ  
No title

これは南国の雰囲気、木といい青空と言い
ソテツって低いらしいからフェニックスでいいのかな。
花が見えますね。
今日も晴れでしょうか冬至らしいです。

ナイス

樹☆  
No title

こんばんは
宮崎へ行かれたのですか?
フェニックスが道路沿いに
すごく景観が素晴らしいとこがありましたね。

POPS  
No title

こんばんは。
南国らしい雰囲気で青空も綺麗で、素晴らしい風景ですね~。
ナイス

スモークマン  
No title

グーテンアーベント ^^
これは難しかったです ^^;
(2^4)*2^3*q^3・・・4*4=16
(2^4)*2^3*q*r・・・4*2*2=16
p^3*qr・・・4*2*2=16
pqrs・・・2^4=16
の場合で考えればいいはずと思いましたが...^^;;
(2^4)*2*3*5*7が抜けてました...(答えには影響しませんが...)
but...so...面白かったです♪

ヤドカリ  
No title


写真の樹はカナリーヤシです。
一般的にフェニックスと呼ばれています。
アフリカ西海岸、カナリア諸島原産で、
日本では東京以南で生育します。
耐潮性に富むけれど、
寒さに弱く、-10℃が枯死限界です。

ヤドカリ  
No title

ひとりしずかさん、早速のコメントとナイス!をありがとうございます。
上に記しましたが、カナリーヤシです。
南国を思わせる樹木は暖かな感じがします。

ヤドカリ  
No title

アキチャンさん、早速のコメントとナイス!をありがとうございます。
青空とヤシを見れば南国を連想しますが、
実は、長居植物園(大阪市)で撮った写真です。

ヤドカリ  
No title

ニリンソウさん、早速のコメントとナイス!をありがとうございます。
仰る通り、フェニックスです。雰囲気は南国でも大阪市内です。
今日は寒さが少し和らぎ、過ごしやすい1日でした。

ヤドカリ  
No title

樹ちゃん、コメントとナイス!をありがとうございます。
長居植物園(大阪市)で撮った写真です。
宮崎県の県の木ですので、行った気になっただけでした。

ヤドカリ  
No title

POPSさん、コメントとナイス!をありがとうございます。
雰囲気は南国ですね。
大阪の冬は晴れが多いので、フェニックスと撮れば南国のようです。

ヤドカリ  
No title

スモークマンさん、コメントとナイス!をありがとうございます。
こんな単純な問題でも、奇数と偶数の違いは大きいです。
丁寧に場合分けし、計算を間違えないと解けますね。