[答1155] 不定方程式の解の個数
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[答1155] 不定方程式の解の個数
nを自然数の定数として、4x2-y2=n を満たす自然数の組(x,y)を考えます。
例えば n=15 とすれば、4x2-y2=15 、(x,y)=(2,1),(4,7) です。
n=15 のとき 解(x,y)は2組ですが、解(x,y)がちょうど8組あるとき n=?
この条件を満たすnは無限にありますので、小さい順に3個を求めてください。
[解答]
(2x+y)(2x-y)=n ですので、2x+y=a ,2x-y=b とおけば、ab=n ,a>b で、
x=(a+b)/4 ,y=(a-b)/2 が自然数だから、a+b は4の倍数であればよいことになります。
以下、合同式は mod 4 とします。a+b≡0 なので、
「a≡1,b≡-1 または a≡-1,b≡1」,「a≡0,b≡0」,「a≡2,b≡2」の場合があります。
「a≡1,b≡-1 または a≡-1,b≡1」 のときは、n≡-1 で n が 16個の約数をもつとき、
小さい方から n=3・5・7・11,33・5・13,3・5・7・19=1155,1755,1995 、
「a≡0,b≡0」 のときは、(a/4)(b/4)=n/16 が 16個の約数をもつときで、
小さい方から n/16=23・3・5,23・3・7,2・3・5・7 、n=1920,2688,3360 、
「a≡2,b≡2」 のときは、(a/2)(b/2)=n/4 が 奇数で 16個の約数をもつとき、
最小のものは n/4=33・5・7 、n=3780
ですので、小さい3個は n=1155,1755,1920 です。
なお、5000以下では、n=1155,1755,1920,1995,2079,2295,2415,2688,
3003,3135,3255,3315,3360,3375,3456,3591,3780,3795,3915,3927,
4224,4320,4347,4480,4515,4620,4875,4935,4992,4995 の30個が該当します。
また、(x,y)が丁度9組あるときの最小のnは n=32・52・7=1575 です。
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