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[答1156] ガウス記号を含む方程式

ヤドカリ

ヤドカリ


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[答1156] ガウス記号を含む方程式


 [x/3]2=[x2/9]+45 を満たす整数 x は? また、両辺の値は?


[解答]

 [x/3]2=[x2/9]+45 の解を求めます。

 [x/3]=n ,x/3=n+a/3 とすれば、a=0,1,2 になり、

 n2=[n2+2an/3+a2/9]+45 、-45=[2an/3+a2/9] 、-45≦2an/3+a2/9<-44 になります。

 まず、a=0 のとき -45≦0<-44 は成り立ちません。

 a≠0 のとき、-405≦6an+a2<-396 、-405-a2≦6an<-396-a2

 a=1 のとき、-406≦6n<-397 、n=-67 、x=3n+a=-200 です。

 a=2 のとき、-409≦12n<-400 、n=-34 、x=3n+a=-100 です。

 [x/3]2=[x2/9]+45 を満たす整数解は、x=-100,-200 です。

 両辺の値は、x=-100 のとき [x/3]2=1156 で、x=-200 のとき [x/3]2=4489 です。


[参考1]

 [x/3]2=[x2/9]+45 において、太字の数字を 同じ数字が何個か続くものとして解けば、

 [x/3]2=[x2/9]+445 の解は x=-1000,-2000 、[x/3]2=111556,444889 、

 [x/3]2=[x2/9]+4445 の解は x=-10000,-20000 、[x/3]2=11115556,44448889 、

  ………


[参考2] xが整数であるという条件を除くと ( たけちゃんさんのコメントより )

 x≧0のとき, [x2/9]=[(x/3)2]≧[x/3]2 だから,方程式は不成立.

 また,x/3 が整数のとき, [x/3]2=[x2/9] だから,方程式は不成立.

 よって,x<0 かつ x/3 が非整数のときを考えればよい.

 このとき, [x2/9]=n とおくと, [x/3]=-[√n]-1 となって,方程式は(-[√n]-1)2=n+45 .

 さらに, [√n]=m とおくと,n=m2+2m-44 であり,m2≦m2+2m-44<(m+1)2 から,m≧22 .

 k=m-22 (負でない整数)として,n=(m+1)2-45=(k+23)2-45=k2+46k+484 と表される.

 (このnは,k=0 のときに限り平方数となる.)

 方程式は,各nに対して「9n≦x2<9(n+1),x<0,x/3 が非整数」のときに成立.

 したがって,方程式の解は,

 「-3√485<x<-66 または -3√(k2+46k+485)<x≦-3√(k2+46k+484) (k=1,2,3,…)」

.

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Comments 14

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ひとりしずか  
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ヒオウギの実でしょうか~
中はどんな種なんだろう……

アキチャン  
No title

おはようございます。
朽ちていく様もきれいですね(o^-^o)

ニリンソウ  
No title

おはようございます!
黒髪の艶に例えられるヌバタマが美しいです。

ナイス

スモークマン  
No title

グーテンアーベント ^^
結構ややこしい場合分けをせざるを得なかったですばい ^^;
ガウス記号は扱い慣れてないなぁ...^^;; Orz~

ちなみに...たけちゃんさんの解法で、

>「-3√485<x<-66 または -3√(k2+46k+485)<x≦-3√(k2+46k+484) (k=1,2,3,…)」

からあとは...どうのような展開になるのでしょうかしらん...^^;...?

POPS  
No title

こんばんは。
濃厚な色合いの実ですね~。
何の実でしょうか?
ブルーベリーの様な雰囲気もしますね。
ナイス

ヤドカリ  
No title

ひとりしずかさん、早速のコメントとナイス!をありがとうございます。
仰る通り、ヒオウギの実です。
割って中身を見たことがないので何とも言えません。

ヤドカリ  
No title

アキチャンさん、早速のコメントとナイス!をありがとうございます。
枯れてもなお美しいものもありますね。
私も将来はそうありたいです。

ヤドカリ  
No title

ニリンソウさん、早速のコメントをありがとうございます。
近頃は髪を染める人が多くヌバタマのような黒髪のひとを見かけません。
ところで、かつては湿度計を作るのに日本女性の髪が優れていたそうです。

ヤドカリ  
No title

スモークマンさん、コメントとナイス!をありがとうございます。
[参考2]はたけちゃんさんが発展問題として解いてくれました。
ところで、答のあとは何もありません。敢えて書くなら、
k=1,2,…… と代入したものを「または」でつなぐことになります。

ヤドカリ  
No title

POPSさん、コメントとナイス!をありがとうございます。
写真の実はヒオウギの実で、ヌバタマと呼ばれます。
万葉集等で「黒」「夜」またその他の「黒」をイメージさせる言葉の
枕詞「ぬばたまの」のヌバタマです。

たけちゃん  
No title

整数解を求めるには,[参考2]はあまり有効とは言えませんね.
(「整数以外についても考えるとすれば」ということで提示したものです.)

強いてここから整数解を求めるとすれば,次のようにできそうです.

k≧1のとき,(k+22)^2<(k+23)^2-45<(k+23)^2-44<(k+23)^2だから,
-3√(k^2+46k+485)<x≦-3√(k^2+46k+484)の範囲に整数xがあるなら,
それは-(3(k+22)+1),-(3(k+22)+2)以外にはあり得ない.

-(3(k+22)+1)が解となるのは,
9(k^2+46k+485)>(3k+67)^2≧9(k^2+46k+484)のとき.
これより,31/3<k≦133/12となって,整数kはk=11であり,x=-100.
-(3(k+22)+2)が解となるのは,
9(k^2+46k+485)>(3k+68)^2≧9(k^2+46k+484)のとき.
これより,259/6<k≦134/3となって,整数kはk=44であり,x=-200.

ヤドカリ  
No title

たけちゃんさん、コメントをありがとうございます。
私も[参考2]から整数解を求めることは端から考えていません。
整数という条件があるから簡単に解けますが、
その条件をなくすと、どれだけ複雑になるかということを
貴殿の解法で紹介しただけです。

スモークマン  
No title

>やどかり様、たけちゃん様へ
解説グラッチェでっす Orz~
整数も含んだ一般解でしたのね ^^
そこから、整数解だけを見つけるのは,,,わたしには難しいです...^^;;
熟読玩味ぃ...^^;v...

ヤドカリ  
No title

スモークマンさん、再度のコメントをありがとうございます。
ごゆっくり検討してみて下さい。