FC2ブログ

Welcome to my blog

[答1157] 関数の係数

ヤドカリ

ヤドカリ


'


[答1157] 関数の係数


 xの関数 f(x)=ax2+bx+c (0≦x≦2) について、

 最大値が f(2) で、38≦f(2)-f(1)≦50 を満たすときの整数の組(a,b)の個数は?


[解答]

 a≧0 のとき、最大値は f(2),f(0) のいずれかなので、f(2)≧f(0) であればよい。

 4a+2b+c≧c 、b≧-2a です。

 a<0 のとき、軸 x=-b/(2a) が x≧2 の部分にあればよいので、-b/(2a)≧2 、

 -2a>0 なので、b≧-4a です。

 次に、38≦f(2)-f(1)≦50 より、38≦(4a+2b+c)-(a+b+c)≦50 、38≦3a+b≦50 、

 -3a+38≦b≦-3a+50 になり、

 ab平面での領域 b≧-2a ,b≧-4a ,-3a+38≦b≦-3a+50 の格子点の個数を求めることになります。

 これは、(-38,152),(38,-76),(50,-100),(-50,200) を頂点とする台形の辺と内部になり、

 その面積は |50・200-(-100)(-50)|/2-|(-38)(-76)-152・38|/2=1056 、

 辺上の格子点は |a|=50 のとき 1個,|a|<50 のとき 2個ずつなので、2+2・99=200 、

 求める格子点の個数をnとすれば、内部の格子点は n-200 個なので、ピックの定理より、

 (n-200)+200/2-1=1056 、n-101=1056 、n=1157 です。


 なお、f(2)-f(1)=k とおけば、kは 38≦k≦50 を満たす整数であり、3a+b=k 、b=k-3a です。

 b≧-2a に代入すれば、k-3a≧-2a 、a≦k 、b≧-4a に代入すれば、k-3a≧-4a 、a≧-k で、

 -k≦a≦k になり、2k+1 個の格子点があります。

 k=38,39,40,……,50 として加えると、

 77+79+81+……+101=(77+101)・13/2=1157 です。

.

スポンサーサイト



Comments 10

There are no comments yet.
ひとりしずか  
No title

葉ボタンが整列、見ごたえあります

ニリンソウ  
No title

並んだ並んだ葉ボタンが!
圧巻ですね~公園かな。

スモークマン  
No title

グーテンアーベント ^^
領域内の格子点の数え方よくわからず...PCに計算させちゃいました ^^;
どういうわけか...ピックの定理まったく思いつかず...^^;;...Orz...
いよいよ、明日は今年最後の問題ですね!!
有終の美を飾れますように☆

ヤドカリ  
No title

ひとりしずかさん、早速のコメントとナイス!をありがとうございます。
年末にはよく見るハボタンですが、たくさん並ぶと見ごたえがありますね。
花が少ない時期だけに目立ちます。

ヤドカリ  
No title

ニリンソウさん、コメントをありがとうございます。
公園ではなく、駅前でした。
ここの駅前では毎年たくさん植えられています。

ヤドカリ  
No title

スモークマンさん、コメントとナイス!をありがとうございます。
そのまま数えても答は出ますが、
ピックの定理という便利なものがありますね。

POPS  
No title

こんばんは。
葉牡丹が華やかで綺麗で、冬の主役の一つですね~。
今日で今年のブログの更新がお終いなので、お世話になりました。
来年もよろしくお願いします。
良いお年を!
ナイス

ヤドカリ  
No title

POPSさん、コメントとナイス!をありがとうございます。
葉牡丹をよく目にする季節になりました。
仰る通り、冬の主役ですが、春の菜の花のような花もいい感じです。
ところで、私は明日も更新予定ですが、来年もよろしくお願いします。
お互い、良い年でありますように。

樹☆  
No title

まるで薔薇の花のよう・・
整列してて美しさが増します。

ヤドカリ  
No title

樹ちゃん、コメントとナイス!をありがとうございます。
植物は1輪でも存在感がありますが、
多くが一緒に並んでいると存在感が増しますね。