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[答1159] 放物線と接線と面積

ヤドカリ

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[答1159] 放物線と接線と面積


 P(3,-8k+33) からの 放物線 2y=(2k-7)x2-2(6k-23)x+(10k-37) への接線2本と

 この放物線とで囲まれる部分の面積が 64/5 であるとき、k=?


[解答1]

 2y=(2k-7)x2-2(6k-23)x+(10k-37) は、

 2y=(2k-7)(x-a)2+(2k-7)(2ax-a2)-2(6k-23)x+(10k-37) 、

 2y=(2k-7)(x-a)2+(4ak-14a-12k+46)x+(-2a2k+7a2+10k-37) 、

 接点のx座標を a とすれば、接線は 2y=(4ak-14a-12k+46)x+(-2a2k+7a2+10k-37) で、

 P(3,-8k+33) を通るので、2(-8k+33)=(4ak-14a-12k+46)・3+(-2a2k+7a2+10k-37) 、

 -16k+66=12ak-42a-36k+138-2a2k+7a2+10k-37 、(2k-7)a2-(12k-42)a+10k-35=0 、

 2k-7≠0 だから、a2-6a+5=0 、a=1,5 になります。

 2個の接点を通る直線と放物線とで囲まれる部分の面積は

 接線2本と放物線とで囲まれる部分の面積の2倍だから、-(|2k-7|/2)15 (x-1)(x-5)dx=2・64/5 、

 (|2k-7|/2)(1/6)(5-1)3=2・64/5 、64|2k-7|/12=2・64/5 、|2k-7|=12・2/5 、

 2k-7=-24/5,24/5 、2k=11/5,59/5 、k=1.1 ,5.9 です。


[解答2]

 2つの接点を通る直線は y-8k+33=(2k-7)・3x-(6k-23)(x+3)+(10k-37) 、

 y-8k+33=6kx-21x-6kx+23x-18k+69+10k-37 、y=2x-1 です。

 2y=(2k-7)x2-2(6k-23)x+(10k-37) に代入し、2(2x-1)=(2k-7)x2-2(6k-23)x+(10k-37) 、

 (2k-7)x2-2(6k-21)x+(10k-35)=0 、2k-7≠0 だから、x2-6x+5=0 、x=1,5 です。

 接点をx座標が小さい方から A,B とすれば、A(1,1),B(5,9) です。

 △PAB=3・64/5 で、ベクトルAB=(4,8),ベクトルAP=(2,-8k+32) だから、

 |4(-8k+32)-8・2|/2=3・64/5 、|-16k+56|=3・64/5 、|-2k+7|=3・8/5 、-2k+7=±24/5 、

 -2k=-7±24/5=-11/5,-59/5 、k=1.1 ,5.9 です。

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Comments 14

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ひとりしずか  
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竹林に陽射し~なんかほかほかしてきます

今朝は -3℃、カメラが動作しなくなりました

アキチャン  
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おはようございます。
気持ちがいいですね~(o^-^o)

ゆうこ つれづれ日記  
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竹林と竹藪とは違うのかしら・・・
すくと立っている竹は強風に強そうですね。
竹林を直に見てみたいなぁ~~
ナイス☆
今日は小寒・・・今朝、気温がぐんと下がりました。

樹☆  
No title

おはようございます。
竹林いいですね。
京都を思い出します。

こちらは雨となりました。

ニリンソウ  
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わ^真っすぐに伸びる若竹!
いい写真ですね。

ナイス

ヤドカリ  
No title

ひとりしずかさん、早速のコメントとナイス!をありがとうございます。
当方も気温が下がりましたが、氷点下ではありません。
竹林はいつも青々としていて花が少ない時に重宝します。

ヤドカリ  
No title

アキチャンさん、早速のコメントとナイス!をありがとうございます。
竹は真っすぐで気持ちがいいです。
撮りたくなることが時々あります。

ヤドカリ  
No title

ゆうこさん、早速のコメントとナイス!をありがとうございます。
竹藪は手入れされていない状態だと思います。
近くの公園で撮ったものですが、手入れされています。
小寒 ⇒ 大寒 ⇒ 立春 ですね。春が待ち遠しいです。

ヤドカリ  
No title

樹ちゃん、早速のコメントとナイス!をありがとうございます。
京都嵯峨野の竹林は有名ですね。
近くの公園で撮りました。
ところで、今日は当方も雨が降りました。久しぶりです。

ヤドカリ  
No title

ニリンソウさん、コメントをありがとうございます。
冬になっても青々としている竹はいいですね。
当方では、雪の重みに耐えることもあるかないかです。

スモークマン  
No title

グーテンアーベント ^^
取り組みかけるも...途中からよくわからなくなってしまいました ^^;
いろんな知識の組み合わせを要する問題のようでしたのね ^^;;
基礎ができてないこと痛感...どちらの解法も鮮やかですね☆
接点を通る直線からして復習必要なわたしです...Orz~

POPS  
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こんばんは。
綺麗な竹林ですね~。
春の新緑の時期になると、更に緑が深まるのでしょうね。
ナイス

ヤドカリ  
No title

スモークマンさん、コメントとナイス!をありがとうございます。
この問題は、大学入試程度の問題だと思います。
数学の必要な受験生なら解けてほしい問題でもあります。
数値の設定については、会心の出来だと思います。

ヤドカリ  
No title

POPSさん、コメントとナイス!をありがとうございます。
仰るように、新緑の季節の竹林は緑が深いです。
竹の姿は綺麗だと思います。