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[答1160] 平面による空間の分割

ヤドカリ

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[答1160] 平面による空間の分割


 図のように、平面をn本の直線で分割すると最大※1 (n2+n+2)/2 個の領域に分かれます。

 同様に、空間をn枚の平面で分割すると最大※2 an 個の領域に分かれるものとして、

 an≧1000 を満たす最小の自然数nは? また、そのnについて、an=?

  ※1 …… どの2直線も1点で交わり、その点を通る直線が他にない場合です。

  ※2 …… どの3平面も1点で交わり、その点を通る平面が他にない場合です。


[解答]

 k枚の平面で 空間が ak 個の領域に分かれている状態で、※2の条件で平面を1枚増やせば、

 もとのk枚の平面との交線k本が※1の条件で 増やした平面上に存在します。

 従って、増やした平面は (k2+k+2)/2 個の領域に分かれ、

 領域のそれぞれが 空間の1つの領域を2つに分割しますので、(k2+k+2)/2 個増えます。

 つまり、ak+1-ak=(k2+k+2)/2 です。

 ak+1-ak=k(k+1)(k+2)/6-(k-1)k(k+1)/6+1 、

 k=1,2,3,……,n-1 として加えると、 an-a1=(n-1)n(n+1)/6-0+(n-1) 、

 a1=2 だから、an=(n-1)n(n+1)/6+(n+1)=(n2-n+6)(n+1)/6 です。

 n3/6≒1000 とすれば n≒18 ですので、

 a18=(182-18+6)(18+1)/6=312・19/6=988 、

 a19=(192-19+6)(19+1)/6=348・20/6=1160 を求めれば、

 n=19 ,a19=1160 です。


[参考]

 平面をn本の直線で分割すると最大 (n2+n+2)/2 個の領域に分かれる理由は、

 直線が0本のときの分割の数が1で、

 n本目の直線を描いたときに、それまでの直線と n-1 点で交わり、

 n本目の直線は 半直線と線分合わせてn本に分かれ、

 それが、n本目の直線を描いたときに増える分割の数ですので、

 1+交点の数+直線の数 が分割の数で、1+n2+n だからです。

 同様に、空間をn枚の平面で分割するときの最大の領域の数は、

 平面が0枚のときの分割の数が1で、

 n枚目の平面を描いたときに、 (n2+n+2)/2 個、

 すなわち 平面の数+交点の数+直線の数 の領域が増えますので、

 1+交点の数+交線の数+平面の数 が分割の数で、

 1+n3n2+n です。

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Comments 10

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アキチャン  
No title

おはようございます。
りっぱな花が咲きましたね。珍しいですよね(o^-^o)

ひとりしずか  
No title

アロエ?

好きな色

ヤドカリ  
No title

アキチャンさん、早速のコメントとナイス!をありがとうございます。
アロエは、時々見かけますが、立派なのに出会えて撮りました。
緑色と橙色、植物の生命力を感じます。

ヤドカリ  
No title

ひとりしずかさん、早速のコメントとナイス!をありがとうございます。
仰る通り、アロエです。冬によく見かけます。
暖かそうな色ですね。

ニリンソウ  
No title

アロエの花かな~違うようですね。
なんとか今日まで穏やかできた正月も過ぎ
明日から荒れるようです。

ナイス

ヤドカリ  
No title

ニリンソウさん、コメントとナイス!をありがとうございます。
アロエの花が立派に咲いていましたので撮りました。
ところで、明日から寒気が流れ込むようです。朝起きが辛いです。

POPS  
No title

こんばんは。
アロエの花が綺麗に咲き揃いましたね~。
ウチの近所でもどこか咲いていないかな・・・
ナイス

スモークマン  
No title

グーテンアーベント ^^
休みが多くて今日が何曜日かわからなくなってます ^^;
解答はわかりやすいですね♪
わたしゃ...
平面が2本の直線の交点分増えるので...
空間なら3本の直線(交線)でできる(空間)分増えるというアナロジーで考えました...アバウトでしたけど...^^;
綺麗な式で表されるわけですね☆

ヤドカリ  
No title

POPSさん、コメントとナイス!をありがとうございます。
アロエの花を撮りたいとあまり思わないですが、
きれいに咲きそろっていたので、撮りました。

ヤドカリ  
No title

スモークマンさん、コメントをありがとうございます。
空間の分け方を考えて、綺麗な式であることが分かりました。
平面の分け方ではなかなか分かりません。