[答1161] 余弦の最小値

[答1161] 余弦の最小値


　xy平面上に A(1，0)，B(121，0)があり、y軸上に点Pをとります。

　このとき cos∠APB の最小値は？


[解答1]

　Pは直径をABとする円外にあるので、∠APB は鋭角です。

　従って ∠APB，tan∠APB の大小は一致し、cos∠APB の大小は逆です。

　また、0(0，0)，P(0，t) とし、

　Pは y軸の正の部分にとっても負の部分にとっても同じことですので t＞0 とします。

　tan∠APB＝tan(∠BPO－∠APO)＝(tan∠BPO－tan∠APO)/(1＋tan∠BPO･tan∠APO)

　 ＝(121/t－1/t)/｛1＋(121/t)(1/t)｝＝120t/(t²＋121) 、

　120/tan∠APB＝(t²＋121)/t＝t＋121/t≧2√(t･121/t)＝22 、

　tan∠APB≦60/11 、等号は t＝121/t すなわち t＝11 のときに成り立ちます。

　tan∠APB＝60/11 のとき、

　1/cos²∠APB＝1＋tan²∠APB＝1＋3600/121＝3721/121 、

　1/cos∠APB＝61/11 、cos∠APB＝11/61 です。


[解答2]

　Pは直径をABとする円外にあるので、∠APB は鋭角です。

　ABの中点をM，△APBの外接円の中心をC，半径をR とします。

　sin∠APB＝AB/(2R)＝11/(2R) なので、R と sin∠APB の大小は逆です。

　Pは y軸上にあり、Cは x＝61 上にありますので、Rの最小値は 61 、

　このとき、CA＝R＝61 で、sin∠APB は最大、cos∠APB は最小です。

　cos∠APB＝cos(∠ACB/2)＝cos∠ACM＝CM/CA＝√(61²－60²)/61＝11/61 です。

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