[答1161] 余弦の最小値
[答1161] 余弦の最小値
xy平面上に A(1,0),B(121,0)があり、y軸上に点Pをとります。
このとき cos∠APB の最小値は?
[解答1]
Pは直径をABとする円外にあるので、∠APB は鋭角です。
従って ∠APB,tan∠APB の大小は一致し、cos∠APB の大小は逆です。
また、0(0,0),P(0,t) とし、
Pは y軸の正の部分にとっても負の部分にとっても同じことですので t>0 とします。
tan∠APB=tan(∠BPO-∠APO)=(tan∠BPO-tan∠APO)/(1+tan∠BPO・tan∠APO)
=(121/t-1/t)/{1+(121/t)(1/t)}=120t/(t2+121) 、
120/tan∠APB=(t2+121)/t=t+121/t≧2√(t・121/t)=22 、
tan∠APB≦60/11 、等号は t=121/t すなわち t=11 のときに成り立ちます。
tan∠APB=60/11 のとき、
1/cos2∠APB=1+tan2∠APB=1+3600/121=3721/121 、
1/cos∠APB=61/11 、cos∠APB=11/61 です。
[解答2]
Pは直径をABとする円外にあるので、∠APB は鋭角です。
ABの中点をM,△APBの外接円の中心をC,半径をR とします。
sin∠APB=AB/(2R)=11/(2R) なので、R と sin∠APB の大小は逆です。
Pは y軸上にあり、Cは x=61 上にありますので、Rの最小値は 61 、
このとき、CA=R=61 で、sin∠APB は最大、cos∠APB は最小です。
cos∠APB=cos(∠ACB/2)=cos∠ACM=CM/CA=√(612-602)/61=11/61 です。
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