FC2ブログ

Welcome to my blog

[答1161] 余弦の最小値

ヤドカリ

ヤドカリ



[答1161] 余弦の最小値


 xy平面上に A(1,0),B(121,0)があり、y軸上に点Pをとります。

 このとき cos∠APB の最小値は?


[解答1]

 Pは直径をABとする円外にあるので、∠APB は鋭角です。

 従って ∠APB,tan∠APB の大小は一致し、cos∠APB の大小は逆です。

 また、0(0,0),P(0,t) とし、

 Pは y軸の正の部分にとっても負の部分にとっても同じことですので t>0 とします。

 tan∠APB=tan(∠BPO-∠APO)=(tan∠BPO-tan∠APO)/(1+tan∠BPO・tan∠APO)

  =(121/t-1/t)/{1+(121/t)(1/t)}=120t/(t2+121) 、

 120/tan∠APB=(t2+121)/t=t+121/t≧2√(t・121/t)=22 、

 tan∠APB≦60/11 、等号は t=121/t すなわち t=11 のときに成り立ちます。

 tan∠APB=60/11 のとき、

 1/cos2∠APB=1+tan2∠APB=1+3600/121=3721/121 、

 1/cos∠APB=61/11 、cos∠APB=11/61 です。


[解答2]

 Pは直径をABとする円外にあるので、∠APB は鋭角です。

 ABの中点をM,△APBの外接円の中心をC,半径をR とします。

 sin∠APB=AB/(2R)=11/(2R) なので、R と sin∠APB の大小は逆です。

 Pは y軸上にあり、Cは x=61 上にありますので、Rの最小値は 61 、

 このとき、CA=R=61 で、sin∠APB は最大、cos∠APB は最小です。

 cos∠APB=cos(∠ACB/2)=cos∠ACM=CM/CA=√(612-602)/61=11/61 です。

.

スポンサーサイト



Comments 14

There are no comments yet.
アキチャン  
No title

おはようございます。
ヒイラギ、ちょっと寒そう((((;´・ω・`)))ガクガクブルブル

ひとりしずか  
No title

ヒイラギの実ですか?
庭にヒイラギあったのですが花咲いたことがなかった~

樹☆  
No title

おはようございます
慣れぬ雪で車の運転も悪戦苦闘の長崎の街です。
やどかりさんも出勤はたいへんだったでしょうね。

変わった葉のヤバネヒイラギモチ実が可愛いです。

ゆうこ つれづれ日記  
No title

こんにちは~~
またまた道東では見られない植物です。
クリスマスのリースに使ったりするのかなぁ~~

ナイス☆

ニリンソウ  
No title

こんにちは~
変わった葉っぱですね。
こちら大雪警報まだ降り続いています。

POPS  
No title

こんばんは。
この赤い実は何の実でしょうか?
いかにも新春らしい雰囲気でいいですね。
ナイス

スモークマン  
No title

グーテンアーベント ^^
[解答2]の発想がスコンと出て来るようになりたいものです ^^;☆
類似問に遭遇したことがあったにも関わらず...
蒙昧/盲点(スコトーマ)のまんま...^^;; Orz~

ヤドカリ  
No title

アキチャンさん、早速のコメントとナイス!をありがとうございます。
この前はヒイラギナンテンでしたので、ヒイラギモチをアップしました。
赤い実と特徴ある葉が印象に残ります。

ヤドカリ  
No title

ひとりしずかさん、早速のコメントとナイス!をありがとうございます。
ヒイラギモチの実です。
花は初夏に咲くようですが、見たことがありません。

ヤドカリ  
No title

樹ちゃん、早速のコメントとナイス!をありがとうございます。
ヒイラギモチをよくご存じですね。
ところで、此方は積もるような雪はありません。
雪に慣れない地方での、車の運転には十分ご注意を。

ヤドカリ  
No title

ゆうこさん、早速のコメントとナイス!をありがとうございます。
同じ様な植物をリースに使うようですが、
このヒイラギモチは中国原産ですので、使われるかどうか分かりません。

ヤドカリ  
No title

ニリンソウさん、コメントとナイス!をありがとうございます。
写真はヒイラギモチですが、葉の形は普通のものもあるようです。
ところで、新潟の雪はここ何日かかなり積もったそうですね。
お出かけもなかなか出来ないのではないですか?

ヤドカリ  
No title

POPSさん、コメントとナイス!をありがとうございます。
この実はヒイラギモチという植物です。
新春に限らず、秋から冬は赤い実が目立ちます。

ヤドカリ  
No title

スモークマンさん、コメントをありがとうございます。
図形的に考えると計算量がかなり減りますね。
強く感銘すれば、スコトーマでなくなると思います。