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[答1163] 直交する放物線の弦

ヤドカリ

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[答1163] 直交する放物線の弦


 放物線 y=3x2+2 上に 点P(-1,5),A,B があります。

 P,A,B が AP⊥BP を満たすとき、直線ABは必ず定点を通ります。この定点の座標は?


[解答1]

 A(a,3a2+2),B(b,3b2+2) とすれば、ABの傾きは {(3b2+2)-(3a2+2)}/(b-a)=3(a+b) 、

 直線ABは y-(3a2+2)=3(a+b)(x-a) 、y=3(a+b)x-3ab+2 になります。

 同様に、APの傾きは 3(a-1) ,BPの傾きは 3(b-1) で、AP⊥BP より、9(a-1)(b-1)=-1 、

 9ab-9(a+b)+9=-1 、-3ab=-3(a+b)+10/3 になります。

 直線ABは y=3(a+b)x-3(a+b)+10/3+2 、y=3(a+b)(x-1)+16/3 になり、定点(1,16/3)を通ります。


[解答2]

 一般に、(p,3p2+2),(q,3q2+2) を結ぶ直線の傾きは {(3q2+2)-(3p2+2)}/(q-p)=3(p+q) 、

 よって、APの傾きは 3(a-1) ,BPの傾きは 3(b-1) で、AP⊥BP より、9(a-1)(b-1)=-1 、

 ab-(a+b)+1=-1/9 です。

 直線ABを y=mx+n とすれば、a,b は 3x2+2=mx+n 、

 すなわち、3x2-mx+2-n=0 の解だから、a+b=m/3 ,ab=(2-n)/3 になり、

 (2-n)/3-m/3+1=-1/9 、2-n-m+3=-1/3 、n=-m+16/3 です。

 直線ABは y=mx+n=mx-m+16/3=m(x-1)+16/3 になり、定点(1,16/3)を通ります。

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Comments 14

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ひとりしずか  
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白い花びら…楚々として~

樹☆  
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おはようございます。
がリル水仙は真っ白で清楚な姿が
とてもいいですね。

葉っぱをニラと間違って食べたと
ニュースで聞いたことがありますが、パッと見た目は似てますね。
でも・・やっぱり違うという気が。

ゆうこ つれづれ日記  
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真っ白な水仙、清潔感が見えて
素敵なお花ですね。
女学生のような水仙ですね。
ナイス☆
来週は寒波が来るようで、ヤドカリさん地方も気温が下がるみたい・・・

アキチャン  
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こんにちわ。
しろしろの水仙、今年も拝見出来ました♪
水仙の中で一番好きです(o^-^o)

ニリンソウ  
No title

こんにちは~
清楚な水仙ですね、穏やかな日差しが注ぐ今日
明日からまた雪になるようです。

ナイス

スモークマン  
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グーテンアーベント ^^
これはよくわからず...答えをゲットするために...
具体的な2点A,BとPを通る2直線の交点を求めるという...
裏技/異端の手に走りましざんす ^^;...Orz~
解答読んで納得でっす☆

POPS  
No title

こんばんは。
ペーパーホワイトが綺麗に咲いてますね~。
水仙も今が盛りで、見るにはいい時期ですよね。
ナイス

ヤドカリ  
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ひとりしずかさん、早速のコメントとナイス!をありがとうございます。
白い花弁は清楚な感じがします。
この色の水仙も素敵ですね。

ヤドカリ  
No title

樹ちゃん、早速のコメントとナイス!をありがとうございます。
ガリル水仙というのですね。初めてこの名前を知りました。
花が咲いていたら食しませんが、葉だけで判断するのは怖いですね。

ヤドカリ  
No title

ゆうこさん、早速のコメントとナイス!をありがとうございます。
白い花は清楚に感じます。ゆうこさんの喩えは女学生なのですね。
来週の寒波、大寒だから仕方ないもののちょっと憂鬱です。

ヤドカリ  
No title

アキチャンさん、コメントとナイス!をありがとうございます。
水仙の中でいちばんお好きとのことですが、
大きな水仙より、白くて沢山咲いている方がいいですね。

ヤドカリ  
No title

ニリンソウさん、コメントをありがとうございます。
新潟の雪はTVで見ますが、凄いですね。
電車に閉じ込められた人たちは災難ですね。

ヤドカリ  
No title

スモークマンさん、コメントをありがとうございます。
具体的に2つの直線を考えれば答は分かりますが、
やはりスッキリ解きたい問題ですね。

ヤドカリ  
No title

POPSさん、コメントとナイス!をありがとうございます。
仰るように、今が水仙の一番きれいな時期ですね。
寒い中、綺麗に咲いてくれているのが嬉しいです。