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[答1165] 四角形の面積と辺の長さ

ヤドカリ

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[答1165] 四角形の面積と辺の長さ


 円に内接する四角形ABCDがあって、対角線の交点を P とします。

 AB=3,CD=18,△PAB=6,四角形ABCD=1479/5,BC>AD のとき、BC2=?


[解答]

 ∠APB=θとします。

 △PAB∽△PDC で、相似比は AB:DC=3:18=1:6 、PD=6PA,PC=6PB で、△PDC=216 です。

 △PBC+△PAD=四角形ABCD-△PAB-△PDC=1479/5-6-216=369/5 、

 PB・PC・sin(π-θ)・PA・PD・sin(π-θ)=PA・PB・sinθ・PC・PD・sinθ だから、

 △PBC・△PAD=△PAB・△PDC=6・216=1296 、

 よって、△PBC,△PAD は x2-369x/5+1296=0 の解です。

 5x2-369x+6480=0 、5x2-41x・9+80・92=0 、(5x-16・9)(x-5・9)=0 、x=144/5,45 、

 △PBC>△PAD だから、△PBC=45,△PAD=144/5 になります。

 PA:PC=△PAB:△PBC=6:45=2:15 、PA=4k,PC=30k とすれば、PB=5k,PD=24k です。

 AB2=PA2+PB2-2PA・PBcosθ=41k2-40k2cosθ より、40k2cosθ=41k2-9 、

 △PAB=(1/2)PA・PBsinθ=10k2sinθ より、10k2sinθ=6 、40k2sinθ=24 です。

 (40k2cosθ)2+(40k2sinθ)2=(41k2-9)2+242 、1600k4=1681k4-2・9・41k2+81+242

 81k4-2・9・41k2+81+242=0 、9k4-2・41k2+9+82=0 、9k4-82k2+73=0 、

 (k2-1)(9k2-73)=0 、k2=1,73/9 です。

 BC2=PB2+PC2-2PB・PCcos(π-θ)=25k2+900k2+2・5k・30k・cosθ=925k2+300k2cosθ

  =925k2+15(40k2cosθ)/2=925k2+15(41k2-9)/2=(2465k2-135)/2 です。

 k2=1 のとき BC2=1165 ,k2=73/9 のとき BC2=89365/9 です。

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Comments 10

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ひとりしずか  
No title

スノーボール今が季節なんですね

アキチャン  
No title

おはようございます。
「おはよう♪」ってきこえてきましたよ(*´∀`*)

ニリンソウ  
No title

この寒さに花を見るとホッとします。
ノースポールは花期も長く育てやすい、安いので春には
必ず植えますよ。

ナイス

POPS  
No title

こんばんは。
ノースポールが咲きだしてますね~。
この時期は外の花が少ないので、ノースポールも貴重な存在ですよね。
ナイス

スモークマン  
No title

グーテンアーベント ^^
AD:BC=4:5をどうやって求めたのか...思い出せない ^^;;...
but...
あとはブラーマグプタの公式を使っちゃいましたぁ Orz...v

ヤドカリ  
No title

ひとりしずかさん、早速のコメントとナイス!をありがとうございます。
ノースポールは昨年暮れからよく見かけます。
冬に咲く貴重な花ですね。

ヤドカリ  
No title

アキチャンさん、早速のコメントとナイス!をありがとうございます。
花に言葉があるのかないのか知りませんが、
「おはよう」と聞こえてくるのですね。

ヤドカリ  
No title

ニリンソウさん、コメントとナイス!をありがとうございます。
私はあまり花を育てることがないので、育てやすいのがいいですね。
緑の葉と白い花の組み合わせは初夏の色だと思います。

ヤドカリ  
No title

POPSさん、コメントとナイス!をありがとうございます。
外で見られる花が少ない季節の花はいいですね。
派手ではありませんが、いい花だと思います。

ヤドカリ  
No title

スモークマンさん、コメントとナイス!をありがとうございます。
AD:BC=4:5 は三角形の相似からすぐに求められます。
ところで、ブラーマグプタの公式は便利ですよね。