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[答1164] 関数の最大値・最小値

ヤドカリ

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[答1164] 関数の最大値・最小値


 f(x)={(log2x)2-4・log2x+4}/{(log2x)2+2・log2x+10} の最大値・最小値は?

 f(□)=□ の形で答えてください。


[解答1]

 f(x)=(log2x-2)2/{(log2x+1)2+9}≧0 で、

 f(x)=0 を満たすのは x=4 だけですので、最小値は f(4)=0 です。

 また、x≠4のとき、

 f(x)=(log2x-2)2/{(log2x-2)2+6(log2x-2)+18} 、

 1/f(x)=1+6/(log2x-2)+18/(log2x-2)2=18{1/(log2x-2)+1/6}2+1/2 、

 よって、1/f(x) が最小になるのは、1/(log2x-2)+1/6=0 のときで、1/f(x)=1/2 、

 このとき、log2x-2=-6 、log2x=-4 、x=1/16 、最大値は f(1/16)=2 です。


[解答2]

 (log2x)2f(x)+2f(x)・log2x+10f(x)=(log2x)2-4・log2x+4 、

 {f(x)-1}(log2x)2+2{f(x)+2}・log2x+{10f(x)-4}=0 、

 f(x)=1 のとき、6・log2x+6=0 、log2x=-1 、x=1/2 、f(1/2)=1 です。

 f(x)≠1 のとき、log2x が実数だから、判別式/4={f(x)+2}2-{f(x)-1}{10f(x)-4}≧0 、 

 -9{f(x)}2+18f(x)≧0 、f(x){f(x)-2}≦0 、0≦f(x)≦2 です。

 f(x)=2 のとき、(log2x)2+8・log2x+16=0 、log2x=-4 、x=1/16 、

 f(x)=0 のとき、-(log2x)2+4・log2x-4=0 、log2x=2 、x=4 、

 よって、最大値は f(1/16)=2 ,最小値は f(4)=0 です。


[解答3]

 log2x=X ,Y=(X2-4X+4)/(X2+2X+10) とおけば、

 Y=1-6(X+1)/(X2+2X+10) 、

 Y'=-6{X2+2X+10-(X+1)(2X+2)}/(X2+2X+10)2

  =-6(-X2-2X+8)/(X2+2X+10)2

  =6(X+4)(X-2)/(X2+2X+10)2

 X<-4 のとき Y'>0 ,-4<X<2 のとき Y'<0 ,2<X のとき Y'>0 だから、

 X≦-4 のとき 単調増加 ,-4≦X≦2 のとき 単調減少 ,2≦X のとき 単調増加 、

 X → ±∞ のとき Y → 1 ,X=-4 のとき Y=2 ,X=2 のとき Y=0 です。

 log2x=X=-4 のとき 最大値は f(1/16)=2 ,

 log2x=X=2 のとき 最小値は f(4)=0 です。

.

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Comments 12

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ひとりしずか  
No title

もしかしてクロホウシの花?
家にも近所からいただいてありますが~
今まで花を見たことがないのく、
こんなにきれいな花が……
いつか咲いてくれるのかなぁ~

ゆうこ つれづれ日記  
No title

おはようございます。
今朝も寒い・・・
全室に暖房が入っているのに寒くて
そばに電気暖房を置いて猫と暖を取っています。
黄色のお花、お初です。
暖かい地方は道東で見られないお花が多いわ~
ナイス☆

ニリンソウ  
No title

キク科の花のようですが
葉がまた変わってるな~~ツワブキ見たいですが
違いますね。
今日も-の世界ですよ。

スモークマン  
No title

グーテンアーベント ^^
寒さを忘れさせるような綺麗な花ですね🌼

これはなんとか解けましたぁ ^^
グラフで可視化されると...(-1,1)で点対称になってますのねぇ...Orz~

POPS  
No title

こんばんは。
黄色い花はキクの仲間でしょうか?
ヒメユウキンカとは違うでしょうし。
鮮やかで綺麗ですね~。
ナイス

アキチャン  
No title

こんばんわ。
黒法師が見えるので黒法師の花かしら。と思ってネットで調べました。
そのようですね。お花は初めて見ました(*´∀`*)

ヤドカリ  
No title

ひとりしずかさん、早速のコメントとナイス!をありがとうございます。
仰る通り、黒法師の花です。
黒法師の花はなかなか見られませんが、綺麗ですね。

ヤドカリ  
No title

ゆうこさん、早速のコメントとナイス!をありがとうございます。
北海道の気温を気象情報で見ますが、想像できません。
この黄色の花は黒法師という多肉植物の花です。

ヤドカリ  
No title

ニリンソウさん、コメントをありがとうございます。
新潟の様子もTVでよく見ますが、豪雪という言葉がピッタリですね。
写真の花は黒法師の花です。花の文化園の温室で見ました。

ヤドカリ  
No title

スモークマンさん、コメントとナイス!をありがとうございます。
グラフを見るとよく分かりますが、微分が必要ですね。
計算力さえあれば微分が分かり易いと思います。

ヤドカリ  
No title

POPSさん、コメントとナイス!をありがとうございます。
写真の花は黒法師という多肉植物の花です。
多肉植物のはなはなかなか見られませんが、綺麗ですね。

ヤドカリ  
No title

アキチャンさん、コメントとナイス!をありがとうございます。
我が家にも黒法師はあるのですが、花は咲いてくれません。
ある程度、成長しないと咲かないのでは?と思っています。