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[答1166] 不等式を満たす最小の実数

ヤドカリ

ヤドカリ


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[答1166] 不等式を満たす最小の実数


 任意の正の数 x,y,z について、√x+√y+√z≦k√(9x+4y+z) を満たす 最小の実数kは?


[解答]

 コーシー・シュワルツの不等式より、(AX+BY+CZ)2≦(A2+B2+C2)(X2+Y2+Z2) が成り立ち、

 AX+BY+CZ≦√{(A2+B2+C2)(X2+Y2+Z2)} です。

 A=1/3,B=1/2,C=1,X=3√x,Y=2√y,Z=√z とすれば、

 √x+√y+√z≦√{(1/9+1/4+1)(9x+4y+z)}=(7/6)√(9x+4y+z) です。

 また、√x+√y+√z=(7/6)√(9x+4y+z) が成り立つのは、

 A:B:C=X:Y:Z のとき、すなわち、1/3:1/2:1=3√x:2√y:√z 、

 1:1:1=9√x:4√y:√z 、9√x=4√y=√z 、81x=16y=z のときです。

 従って、最小の実数kは 7/6=1.16666…… です。

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Comments 10

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ひとりしずか  
No title

蠟細工”のような、梅に似た花
ソシンロウバイと違って芯の赤が目立って……

アキチャン  
No title

こんばんわ。
お花は、原種に近いロウバイですね。。青空に映えてきれいです♪(*´∀`*)

樹☆  
No title

こんばんは
夕方、冷たいと思ったら雪がちらちら舞ってました。
いつまで続くののでしょうね。

普通の蝋梅でいいでしょうか。。

POPS  
No title

こんばんは。
蝋梅が綺麗に咲いてますね~。
いい香りも届いてきそうで、これからは梅の開花も進んできそうです。
ナイス

スモークマン  
No title

グーテンアーベント ^^
なんとか求められましたが...
気づけば便利なコーシーシュワルツ...なかなか慣れないものです ^^;
パズルチックで好きなんだけどなぁ ^^...Orz~

ヤドカリ  
No title

ひとりしずかさん、早速のコメントとナイス!をありがとうございます。
この花はロウバイの花です。
ソシンロウバイは全部黄色ですが、蝋梅は中が赤いです。

ヤドカリ  
No title

アキチャンさん、コメントとナイス!をありがとうございます。
ロウバイに限らず、青空のもとの花は綺麗です。
梅ももうすぐ、青空のもとで撮りたいです。

ヤドカリ  
No title

樹ちゃん、コメントとナイス!をありがとうございます。
先週の強烈な寒波よりは少しだけましですが、当方も寒いです。
仰る通り、この花は蝋梅の花です。

ヤドカリ  
No title

POPSさん、コメントとナイス!をありがとうございます。
梅はまだチラホラ、満開まではまだ日が必要です。
ロウバイは今が見頃、もう少し楽しみたいです。

ヤドカリ  
No title

スモークマンさん、コメントとナイス!をありがとうございます。
コーシー・シュワルツの不等式は利用価値が高いです。
それを使える機会があれば使いたいものです。