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[答1167] 平行四辺形と対角線

ヤドカリ

ヤドカリ


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[答1167] 平行四辺形と対角線


 辺の長さも対角線の長さもすべて自然数である平行四辺形があって、

 面積は 12√10 ,短い方の対角線の長さは 7 です。

 長い方の対角線の長さ,短い方の辺,長い方の辺の長さは?


[解答]

 長い方の対角線の長さを x ,辺の長さを y,z とします。

 s=(7+y+z)/2 とすれば、s(s-7)(s-y)(s-z)=(6√10)2

 s(s-7)(s-y)(s-z)=360=23・32・5 になり、s も自然数です。

 また、s,s-7 の片方が奇数ですので、32・5=45 の約数になり、

 (s,s-7)=(8,1),(10,3),(12,5),(16,9),(22,15),(52,45),(9,2),(15,8),(45,38) 、

 このうち、23・32・5 の約数以外を含むものを除けば、

 (s,s-7)=(8,1),(10,3),(12,5),(9,2),(15,8) です。

 s=(7+y+z)/2 より、y+z=2s-7 になり、

 (s-y)(s-z)=s2-(y+z)s+yz=s2-(2s-7)s+yz=-s2+7s+yz だから、

 yz=(s-y)(s-z)+s2-7s=360/{s(s-7)}+s(s-7) です。

 また、パップスの中線定理より、2{(x/2)2+(7/2)2}=y2+z2

 x2=2(y2+z2)-49=2(y+z)2-4yz-49=2(2s-7)2-1440/{s(s-7)}-4s(s-7)-49

  =(2s-7)2-1440/{s(s-7)} です。

 s=8,10,12,9,15 のそれぞれについて、x2=-99,121,265,41,517 ですので、

 x が整数になるのは、s=10 のとき x=11 です。

 このとき、y+z=2s-7=13 ,yz=360/{s(s-7)}+s(s-7)=42 なので、

 t2-13t+42=0 の解 t=6,7 が y,z の値です。

 よって、長い方の対角線の長さは 11 ,短い方の辺の長さは 6 ,長い方の辺の長さは 7 です。

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Comments 15

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ひとりしずか  
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カンザキアヤメ、ウインターアイリスでしょうか~
今朝の‐5℃の寒さやわらげてくれる花姿です

ゆうこ つれづれ日記  
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おはようございます。
今朝は−10℃を割りましたが寒い朝です。
この時間になってもまだ寒い・・・
立春間近ですけど「春」は全く見えません。
お花は小さなアヤメ?もう咲いているのですね。
ナイス☆

樹☆  
No title

おはようございます
カンザキアヤメでしょうか?美しいですね。
葉っぱの中でかくれんぼしてるようです。

2月もよろしくお願いします

アキチャン  
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こんにちわ。
冬あやめ、鮮やかですね(*´∀`*)

ニリンソウ  
No title

カンアヤメ、すっきりとした色ですね。
今まで感じたことないほどの寒さが昨日、今日と続き
春はホントに来るのかなと不安になるほどです。
そちらは雪もなくいいですね。

ナイス

POPS  
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こんばんは。
アヤメの仲間でしょうか?
紫色の花びらが綺麗で、春を感じますね。
ナイス

ヤドカリ  
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ひとりしずかさん、早速のコメントとナイス!をありがとうございます。
仰る通り、カンザキアヤメです。
寒いときに咲いて、気持ちを和らげてくれます。

ヤドカリ  
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ゆうこさん、早速のコメントとナイス!をありがとうございます。
此方ではマイナスになっても、0℃近く、其方の気温は想像できません。
ところで、写真の花はカンザキアヤメ、冬に咲きます。

ヤドカリ  
No title

樹ちゃん、早速のコメントとナイス!をありがとうございます。
仰る通り、カンザキアヤメです。
葉が邪魔になって撮りにくいのですが、色は綺麗です。
こちらこそ、今月も宜しくお願い致します。

ヤドカリ  
No title

アキチャンさん、コメントとナイス!をありがとうございます。
冬に見られゆアヤメは貴重ですね。
気持ちが和らぎます。

ヤドカリ  
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> 2018/2/2(金) 午前 11:05の鍵コメ様
了解です。
お互い、時間の制約もあり、コメントできないこともありますよね。
できる範囲でコメントしましょう。

ヤドカリ  
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ニリンソウさん、コメントとナイス!をありがとうございます。
今日は道路の凍結が少しありましたが、雪は積もりません。
寒さのピークは先週でした。

ヤドカリ  
No title

POPSさん、コメントとナイス!をありがとうございます。
アヤメは初夏ですが。写真はカンザキアヤメです。
冬に見られる貴重なアヤメだと思います。

スモークマン  
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グーテンアーベント ^^
これは...無理やり、立式後PCに計算させちゃいましたが...^^;;
パップスの中線定理を絡めることには気づきませんでしたわ ^^;
それでも結構面倒なものねぇ...Orz...

ヤドカリ  
No title

スモークマンさん、コメントとナイス!をありがとうございます。
平行四辺形は常にパップスの中線定理を使える形です。
それを利用してこの問題を作りました。