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[答1169] 格子点を頂点とする三角形

ヤドカリ

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[答1169] 格子点を頂点とする三角形


 放物線 y=x2 上の 3個の格子点を頂点とする三角形のうち、内角の1つが 45゚ で、

 面積が 105以下のものは何個? また、その面積の総和は?


[解答1]

 一般に 2点(p,p2),(q,q2) を通る直線の傾きは、

 (q2-p2)/(q-p)=q+p なので、この2点が格子点であれば 傾きは整数です。

 また、傾きが整数 M,m である2直線のなす角を 45゚ とすれば、

 tan45゚=|(M-m)/(1+Mm)| なので、(M-m)/(1+Mm)=±1 、Mm+1=±(M-m) です。

 Mm+1=M-m のとき、Mm-M+m-1=-2 、(M+1)(m-1)=-2 、

  (M+1,m-1)=(-2,1),(-1,2),(1,-2),(2,-1) 、

  (M,m)=(-3,2),(-2,3),(0,-1),(1,0) です。

 Mm+1=-(M-m) のとき、M,m が逆になっているだけですので、

  (M,m)=(2,-3),(3,-2),(-1,0),(0,1) です。

 よって、M>m とすれば、(M,m)=(2,-3),(3,-2),(0,-1),(1,0) です。

 3個の格子点を A(a,a2),B(b,b2),C(c,c2) とすれば、

 ベクトルAB=(b-a,b2-a2) ,ベクトルAC=(c-a,c2-a2) になり、

 △ABCの面積を S(a,b,c) とすると、

 S(a,b,c)=|(b-a)(c2-a2)-(b2-a2)(c-a)|/2

  =|(b-a)(c-a){(c+a)-(b-a)}/2=|b-c||c-a||a-b|/2 です。

 また、∠BAC=45゚ ,b>c とすれば、

 (b+a,c+a)=(2,-3),(3,-2),(0,-1),(1,0) になり、(b+a)(c+a)=-6,0 です。 

 ベクトルAB,ACの内積は、(b-a)(c-a)+(b2-a2)(c2-a2)>0 、

 (b-a)(c-a){1+(b+a)(c+a)}>0 ですので、

 (b+a)(c+a)=-6 のとき (b-a)(c-a)<0 ,(b+a)(c+a)=0 のとき (b-a)(c-a)>0 です。

 (b+a,c+a)=(2,-3) のとき、(b-a)(c-a)<0 、(2-2a)(-3-2a)<0 、-3/2<a<1 、

  a=-1,0 、(a,b,c)=(-1,3,-2),(0,2,-3) 、

  S(-1,3,-2)=5・1・4/2=10 ,S(0,2,-3)=5・3・2/2=15 です。

 (b+a,c+a)=(3,-2) のとき、(b-a)(c-a)<0 、(3-2a)(-2-2a)<0 、-1<a<3/2 、

  a=1,0 、(a,b,c)=(1,2,-3),(0,3,-2) 、

  S(1,2,-3)=5・4・1/2=10 ,S(0,3,-2)=5・2・3/2=15 です。

 (b+a,c+a)=(0,-1) のとき、(b-a)(c-a)>0 、(-2a)(-1-2a)>0 、a<-1/2,0<a 、

  a≠0 、(a,b,c)=(a,-a,-1-a) 、nを自然数として、

  a=n のとき (a,b,c)=(n,-n,-1-n) 、S(n,-n,-1-n)=1・(2n+1)・2n/2=n(2n+1) 、

  a=-n のとき (a,b,c)=(-n,n,n-1) 、S(-n,n,n-1)=1・(2n-1)・2n/2=n(2n-1) です。

 (b+a,c+a)=(1,0) のとき、(b-a)(c-a)>0 、(1-2a)(-2a)>0 、a<0,1/2<a 、

  a≠0 、(a,b,c)=(a,1-a,-a) 、nを自然数として、

  a=n のとき (a,b,c)=(n,1-n,-n) 、S(n,1-n,-n)=1・2n・(2n-1)/2=n(2n-1) 、

  a=-n のとき (a,b,c)=(-n,1+n,n) 、S(-n,1+n,n)=1・2n・(2n+1)/2=n(2n+1) です。

 n(2n-1)≦105 とすれば n≦7 ,n(2n+1)≦105 とすれば n≦7 であり、

 (±n,n2)を2つの頂点とする三角形は4個ずつあり、面積の和は 2n(2n+1)+2n(2n-1)=8n2 ですが、

 n=1 のときだけは (a,b,c)=(-n,n,n-1),(n,1-n,-n) は一致し、三角形は3個で、

 この面積は 1 なので、面積の和は 8・12-1=7 です。

 よって、個数は 4+3+4+4+4+4+4+4=31 、

 面積の和は 10+15+10+15+7+8・22+8・32+8・42+8・52+8・62+8・72=1169 です。 


[解答2]

 条件を満たす三角形を △ABCとし、∠A=45゚,B(b,b2),C(c,c2) (b<c) とすれば、

 直線BCは y=(b+c)x-bc になり、

 Bを中心に Cを左回りに 90゚ 回転して得られる点をD,右回りに 90゚ 回転して得られる点をE とすれば

 D(b+b2-c2,b2-b+c),E(b-b2+c2,b2+b-c) になります。

 △BCDの外接円は直径がCDだから、(x-c)(x+c2-b2-b)+(y-c2)(y-c-b2+b)=0 、

 Aはこの円周上の y>(b+c)x-bc の部分にあるか、

 △BCEの外接円は直径がCEだから、(x-c)(x-c2+b2-b)+(y-c2)(y+c-b2-b)=0 、

 Aはこの円周上の y<(b+c)x-bc の部分にあるかのいずれかです。

 まず、(x-c)(x+c2-b2-b)+(y-c2)(y-c-b2+b)=0 に y=x2 を代入して、

 (x-c)(x+c2-b2-b)+(x2-c2)(x2-c-b2+b)=0 、(x-c){(x+c2-b2-b)+(x+c)(x2-c-b2+b)}=0 、

 (x-c){x3+cx2+(-c-b2+b+1)x+(-cb2+cb-b2-b)}=0 、

 (x-c)(x-b){x2+(c+b)x+(cb-c+b+1)}=0 、

 Aのx座標は x2+(c+b)x+(cb-c+b+1)=0 の解です。

 この判別式 (c+b)2-4(cb-c+b+1)=(c-b)2+4(c-b)-4=(c-b+2)2-8 が平方数で、

 c-b+2>2 だから、c-b+2=3 、c=b+1 です。

 x2+(2b+1)x+(b+1)b=0 を解いて、x=-b-1,-b 、A(-b-1,(b+1)2),A(-b,b2) になり、

 いずれも y>(2b+1)x-(b+1)b を満たします。

 従って、(-b-1,(b+1)2),(-b,b2),(b,b2),(b+1,(b+1)2) を得ます。

 b=0,-1 のとき、 (-1,0),(0,0),(1,1) を頂点とする面積が 1 の三角形で、

 nを自然数として、b=n,-n-1 のとき、(-n-1,(n+1)2),(-n,n2),(n,n2),(n+1,(n+1)2) を

 頂点とする等脚台形の4点のうち3点を頂点とする三角形で、

 面積は、等脚台形が (2n+1)2 、三角形は 大きい方が (n+1)(2n+1) ,小さい方が n(2n+1) です。

 次に、(x-c)(x-c2+b2-b)+(y-c2)(y+c-b2-b)=0 に y=x2 を代入して、

 (x-c)(x-c2+b2-b)+(x2-c2)(x2+c-b2-b)=0 、(x-c){(x-c2+b2-b)+(x+c)(x2+c-b2-b)}=0 、

 (x-c){x3+cx2+(c-b2-b+1)x+(-cb2-cb+b2-b)}=0 、

 (x-c)(x-b){x2+(c+b)x+(cb+c-b+1)}=0 、

 Aのx座標は x2+(c+b)x+(cb+c-b+1)=0 の解です。

 この判別式 (c+b)2-4(cb+c-b+1)=(c-b)2-4(c-b)-4=(c-b-2)2-8 が平方数で、

 c-b-2>-2 だから、c-b-2=3 、c=b+5 です。

 x2+(2b+5)x+(b2+5b+6)=0 を解いて、x=-b-2,-b-3 、

 A(-b-2,(b+2)2),A(-b-3,(b+3)2) になり、

 A(-b-2,(b+2)2)のとき、y<(2b+5)x-(b+5)b より、(b+2)2<(2b+5)(-b-2)-(b+5)b 、

 2(2b2+9b+7)<0 、2(2b+7/2)(b+1)<0 、b=-3,-2 、

 A(1,1),B(-3,9),C(2,4) または A(0,0),B(-2,4),C(3,9) 、面積は 10,15 、

 A(-b-3,(b+3)2)のとき、y<(2b+5)x-(b+5)b より、(b+3)2<(2b+5)(-b-3)-(b+5)b 、

 2(2b2+11b+12)<0 、2(b+4)(2b+3)<0 、b=-3,-2 、

 A(0,0),B(-3,9),C(2,4) または A(-1,1),B(-2,4),C(3,9) 、面積は 15,10 です。

 (n+1)(2n+1)≦105 とすれば n≦6 ,n(2n+1)≦105 とすれば n≦7 であり、7(2・7+1)=105 、

 よって、個数は 1+4・6+2+4=31 、

 面積の和は 1+2(32+52+72+92+112+132+105)+2(10+15)=1169 です。 

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Comments 14

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ひとりしずか  
No title

何の木かしら?

(こういうのインスタ映えすると……)

ニリンソウ  
No title

おはようございます!
峠こえたかなと・・・まぁけさも雪降りですよ。

なんとユニークな枝の木ですね
柿? 葉が茂ったら見えなくなるのに
よく目に止めたと思います。

ゆうこ つれづれ日記  
No title

とても芸術的な姿の木ですね。
盆栽かと思いましたが大きそうです。
春を待ているのですね。
ナイス☆

アキチャン  
No title

こんばんわ。
生きているように見えます(笑)追いかけてきたらどうしましょう(>_<)

スモークマン  
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グーテンアーベント ^^
これは...beyond me ですばい ^^;
x軸に平行なものしかわかりませんでした...^^;;
熟読玩味ぃ~Orz...

POPS  
No title

こんばんは。
この木は何でしょうか?
枝垂れ桜ではないですよね。
なかなか貫禄がありますね。
ナイス

ヤドカリ  
No title

ひとりしずかさん、早速のコメントとナイス!をありがとうございます。
シダレエンジュという樹です。
7~8月にエンドウマメのような白い花を咲かせます。

ヤドカリ  
No title

ニリンソウさん、早速のコメントとナイス!をありがとうございます。
柿ではなく、シダレエンジュという樹です。竜の爪に喩えられます。
ところで、其方の雪はいつまで続くのでしょうか。

ヤドカリ  
No title

ゆうこさん、早速のコメントとナイス!をありがとうございます。
背景の建物で盆栽でないことが分かると思います。
シダレエンジュという樹ですが、枝だけを見たのは初めてでした。

ヤドカリ  
No title

アキチャンさん、コメントとナイス!をありがとうございます。
竜の爪に喩えられる樹ですが、
竜は想像上の動物ですが、逆鱗に触れない限り、温和だそうです。

ヤドカリ  
No title

スモークマンさん、コメントをありがとうございます。
x軸に平行な辺をもたないものは、きちんと検討して見つかります。
それで、問題として成立すると思います。

ヤドカリ  
No title

POPSさん、コメントとナイス!をありがとうございます。
「枝垂れ」ですが、シダレエンジュという樹です。
マメ科の植物で、7~8月に白い花を咲かせます。

ひとりしずか  
No title

花が咲いているときには考えられない木の姿です。

ヤドカリ  
No title

ひとりしずかさん、再度のコメントをありがとうございます。
枝垂れた枝の葉の間からマメ科特有の花が咲いている姿から
この姿は想像できませんでした。