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[答1170] 約数の個数

ヤドカリ

ヤドカリ


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[答1170] 約数の個数


 ある自然数の正の約数のなかに、4で割り切れるものはなく、4で割って1余るものが 8個で、

 4で割って2余るものが 12個あります。

(1) 4で割って3余るものは何個?

(2) この条件に合う最小の自然数は? 2番目に小さい自然数は? 3番目に小さい自然数は?


[解答]

(1) この条件に合う自然数は明らかに偶数で4の倍数でないので、2N (Nは奇数) とおけます。

  2N の約数のうち、N の約数はすべて奇数で、その2倍も 2N の約数で、

  これ以外に 2N の約数はありませんので、奇数と偶数は同数です。

  よって、4で割って3余るものは 12-8=4 個です。

(2) 4で割って1余る奇数をⅠ型,4で割って3余る奇数をⅢ型と名付けます。

  まず、Ⅰ型の素数だけの積で表される奇数の約数は全部Ⅰ型です。

  p をⅢ型の素数,k を自然数とし、

  p と互いに素な奇数 N のⅠ型の約数を m 個,Ⅲ型の約数を n 個とすれば、

  p2k-1N のⅠ型の約数は km+kn 個,Ⅲ型の約数は km+kn 個になり、

  p2k-1N はⅠ型の約数をとⅢ型の約数は同数です。

  p2kN のⅠ型の約数は (k+1)m+kn 個,Ⅲ型の約数は km+(k+1)n 個になり、

  {(k+1)m+kn}-{km+(k+1)n}=m-n ですので、

  Ⅰ型の約数とⅢ型の約数の差は変わりません。

  本問では、Nの約数が 12個なので、N=p2qr または N=p2q3 と素因数分解でき、

  Ⅰ型の約数とⅢ型の約数の差は 8-4=4 なので、p がⅢ型、 q,r がⅠ型の素数です。

  求める数は、2N=2p2qr または N=2p2q3 と素因数分解でき、

  小さい方から、2・32・5・13=1170 ,2・32・5・17=1530 ,2・32・53=2250 です。

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Comments 10

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ひとりしずか  
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わぁ~目の前がぱ~っと明るくなりました

ニリンソウ  
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ストックですかね~
地の花がみれる暖かさがいいですよね。

スモークマン  
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グーテンターク ^^
(1+2)(1+3+...+3^a)(1+q+...+q^b)(1+r+...+r^c) あたりから...
(4m+1)と、(4m-1)の奇数乗と偶数乗
で数合わせとして考えたと思います...Orz~

春のような日差しに雪が舞ってるようです...^^;...

ヤドカリ  
No title

ひとりしずかさん、早速のコメントとナイス!をありがとうございます。
ストックが眩しく輝いていました。
花が少ない冬に咲いてくれるのが嬉しいです。

ヤドカリ  
No title

ニリンソウさん、コメントをありがとうございます。
ストックは寒さに強いので、よく見られます。いろんな色がありますね。
他の記事へのナイス!も有難うございました。

ヤドカリ  
No title

スモークマンさん、コメントとナイス!をありがとうございます。
この問題は、そう難しくはなかったと思います。
3番目に小さいのは素因数分解の形が違いますので、ここまで求める問題にしました。

樹☆  
No title

こんばんは
今日も寒い一日でした。
インフルエンザには負けないと
思ってましたが、罹ってしまいました。
ヤドカリさんはお元気でよかったです。
まっすぐ伸びたストックいいですね。

POPS  
No title

こんばんは。
ストックでしょか。
紫の花が咲き揃って綺麗ですね~。
花の丘のは大分傷んでました。
ナイス

ヤドカリ  
No title

樹ちゃん、コメントとナイス!をありがとうございます。
私は罹っていませんが、周りもインフルエンザが流行っています。
AB両方が流行っていますので、ご注意ください。

ヤドカリ  
No title

POPSさん、コメントとナイス!をありがとうございます。
ストックは花が少ない冬に咲く貴重な花です。
茎がスキーのストックに喩えられて名付けられたそうです。