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[答1171] 正八角形の面積

ヤドカリ

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[答1171] 正八角形の面積


 半径がrの円に内接する正八角形の面積が1のとき、外接する正八角形の面積は?


[解答1]

 内接する正八角形の面積は 8・(1/2)r2sin(2π/8)=1 より、8r2=2√2 、

 外接する正八角形の面積を S とすれば、

 S=16・(1/2)r2tan(2π/16)=8r2tan(π/8)=(2√2)tan(π/8) 、

 tan2(π/8)={1-cos(π/4)}/{1+cos(π/4)}={√2-(√2)cos(π/4)}/{√2+(√2)cos(π/4)}

  =(√2-1)/(√2+1)=(√2-1)2 だから、tan(π/8)=√2-1 で、

 S=(2√2)(√2-1)=4-2√2=1.17157…… です。

 なお、中図のように、鋭角が π/8,3π/8 の直角三角形は、

 直角二等辺三角形をつければ底角が 3π/8 の二等辺三角形になりますので、

 直角をはさむ2辺の比は 1:(√2-1) になり、tan(π/8)=√2-1 が得られます。


[解答2]

 右図のように、内接正八角形を π/8 回転させれば、

 外接正八角形と内接正八角形の相似比は、

 鋭角が π/8,3π/8 の直角三角形の斜辺と 3π/8 の角の対辺の比になります。

 中図のように、直角二等辺三角形をつければ底角が 3π/8 の二等辺三角形になりますので、

 直角をはさむ2辺の比は 1:(√2-1) になり、

 外接正八角形と内接正八角形の面積比は、

 {(√2-1)2+12}:12=(2-2√2+1+1):1=(4-2√2):1 、

 外接正八角形の面積は 4-2√2=1.17157…… です。

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Comments 8

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ひとりしずか  
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彩りきれい!!!

スモークマン  
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グーテンターク ^^
余弦定理から辺の比の2乗倍で考えましたが...
真ん中の図は言われてみれば上手いですねぇ♪
これに気付ければ、初等幾何だけども止まりましたね☆ Orz~

ゆうこ つれづれ日記  
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こんばんわ~~
プリムラですね。
色とりどりできれいだわ~~
私の街ではお花が見られないので
ヤドカリさんのブログで和ませてもらいました。
ナイス☆

POPS  
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こんばんは。
カラフルに花が咲き揃って綺麗ですね~。
ここんとこ気候がなかなか安定しないので、カラフルな花を見るとホッとします。
ナイス

ヤドカリ  
No title

ひとりしずかさん、早速のコメントとナイス!をありがとうございます。
プリムラの花はいろんな色があって、
何色かを組み合わせると彩りが綺麗です。

ヤドカリ  
No title

スモークマンさん、コメントをありがとうございます。
この図を使えば π/8,3π/8 の三角比が求まります。
これを頭においておけば、正八角形はカモですね。

ヤドカリ  
No title

ゆうこさん、コメントとナイス!をありがとうございます。
こちらでも、この時期は花の種類が少ないので、
写真を撮るのに苦労しています。
こちらこそ、ゆうこさんのブログで大自然を味わっています。
寒くない所で。

ヤドカリ  
No title

POPSさん、コメントとナイス!をありがとうございます。
花の種類が少ない時期にはプリムラも目立ちますね。
また寒くなりそうですが、花があふれる春が待ち遠しいです。