FC2ブログ

Welcome to my blog

[答1172] 傍接円と内接円の半径の差

ヤドカリ

ヤドカリ



[答1172] 傍接円と内接円の半径の差


 BC=27 で tan(∠BAC/2)=13/6 である △ABCの辺BCに接する傍接円の半径と内接円の半径の差は?

 なお、図は正確ではありません。


[解答1]

 ∠BAC=θ ,tan(θ/2)=t とします。

 辺BCに接する傍接円の中心を P,半径を r とすれば、

 △ABC=△PAB+△PAC-△PBC より、

 2△ABC=2△PAB+2△PAC-2△PBC=AB・r+AC・r-BC・r=(AB+AC-BC)・r 、

 r=2△ABC/(AB+AC-BC)=(AB・AC・sinθ)/(AB+AC-BC) です。

 内接円の半径は 2△ABC/(AB+AC+BC)=(AB・AC・sinθ)/(AB+AC+BC) です。

 よって、辺BCに接する傍接円の半径と内接円の半径の差は、

 (AB・AC・sinθ)/(AB+AC-BC)-(AB・AC・sinθ)/(AB+AC+BC)

  =(AB・AC・sinθ){1/(AB+AC-BC)-1/(AB+AC+BC)}

  =(AB・AC・sinθ){(AB+AC+BC)-(AB+AC-BC)}/{(AB+AC-BC)(AB+AC+BC)}

  =(2BC・AB・AC・sinθ)/{(AB+AC)2-BC2

  =(2BC・AB・AC・sinθ)/(AB2+2・AB・AC+AC2-AB2-AC2+2・AB・AC・cosθ)

  =(2BC・AB・AC・sinθ)/{2・AB・AC・(1+cosθ)}=(BC・sinθ)/(1+cosθ)

  ={BC・2t/(1+t2)}/{1+(1-t2)/(1+t2)}=BC・2t/{(1+t2)+(1-t2)}=BC・t

 BC=27 ,t=13/6 なので、27・13/6=117/2 です。


[解答2]

 A,B,C から内接円との接点までの距離をそれぞれ a,b,c 、

 B,C から傍接円との接点までの距離をそれぞれ m,n とします。

 内接円の半径は a・tan(∠BAC/2) 、

 傍接円の半径は (a+b+m)・tan(∠BAC/2)=(a+c+n)・tan(∠BAC/2) ですので、

 その差を d とすれば、d=(b+m)・tan(∠BAC/2)=(c+n)・tan(∠BAC/2) です。

 2d=(b+c+m+n)・tan(∠BAC/2) になり、b+c=BC ,m+n=BC だから、

 2d=2BC・tan(∠BAC/2) 、d=BC・tan(∠BAC/2) です。

 BC=27 ,tan(∠BAC/2)=13/6 なので、d=27・13/6=117/2 です。


☆ 具体例としては、BC=27 ,AB=405/52 ,AC=1107/52 のとき、

 tan(∠BAC/2)=13/6 ,内接円の半径は 9/4 ,BCに接する傍接円の半径は 243/4 です。

.

スポンサーサイト



Comments 12

There are no comments yet.
ひとりしずか  
No title

サイネリアの色違いですネ
ほっとさせるやさしい色~

スモークマン  
No title

グーテンターク ^^
これは食べず嫌いのため ^^; 放置してましたけど...
図を眺めてたらふっと舞い降り ^^ ギリセーフ♪
[解答2]☆ Orz~

樹☆  
No title

こんにちは
今日は雨水ですね。
朝から冷たく感じた雨も確実に春に向かってると思います。
ピンクのマーガレットでしょうか?パッと明るくなり素敵です。

ヤドカリ  
No title

ひとりしずかさん、早速のコメントとナイス!をありがとうございます。
サイネリアは色のバリエーションが多いです。
ピンクは優しい感じがします。

ヤドカリ  
No title

スモークマンさん、コメントとナイス!をありがとうございます。
難しくなると思って、tan(∠BAC/2) を与えましたが、
tan∠BAC の方が良かったかも知れません。

ヤドカリ  
No title

樹ちゃん、コメントとナイス!をありがとうございます。
ピンクのサイネリアです。
ところで、仰る通り、今日は雨水ですね。
啓蟄,春分と春に向かってききます。

POPS  
No title

こんばんは。
薄ピンクの花が、優しい雰囲気でとても綺麗ですね~。
春を感じさせてくれますね。
ナイス

ヤドカリ  
No title

POPSさん、コメントとナイス!をありがとうございます。
ピンクのサイネリア、優しさを感じる色です。
花が密集して咲くと春らしいです。

アキチャン  
No title

かわいいですね(*´∀`*) お雛様を連想しました。

ニリンソウ  
No title

可愛らしい色ですね、サイネリアもマーガレットも
この色が人気のようです。

ナイス

ヤドカリ  
No title

アキチャンさん、コメントとナイス!をありがとうございます。
お雛様の連想ですか。3月が近づいていますね。
そしてその発想は女性らしいですね。

ヤドカリ  
No title

ニリンソウさん、コメントをありがとうございます。
この色は女性に人気があるように思えます。
どの花でも優しく感じられる色ですね。