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[答1173] 「17」を含む17の倍数

ヤドカリ

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[答1173] 「17」を含む17の倍数


 17の倍数で「17」がこの順に連続で含まれる4桁または5桁の自然数について、

 その個数は? また、最小のものは? 最大のものは?


[解答]

 m,n,k を整数とし、合同式は 法を 17 とします。

 「17」がこの順に連続で含まれる4桁または5桁の自然数は次の場合があります。

  (1) 100m+17 (10≦m≦999) (2) 10m+170+n (1≦m≦99,0≦n≦9)

  (3) m+1700+n (0≦m≦9,0≦n≦99) (4) 17000+n (0≦n≦999)

 これらが 17の倍数になる条件を求めます。

 (1) 100m+17 (10≦m≦999) と表される場合

  m=17k と表され、10≦17k≦999 、1≦k≦58 の 58個です。

 (2) 10m+170+n (1≦m≦99,0≦n≦9) と表される場合

  下3桁が 001 である最小の17の倍数は 6001 ですので、m≡6n であればよいことになり、

  m=6n+17k と表され、1≦6n+17k≦99 、(1-6n)/17≦k≦(99-6n)/17 です。

  n=0 のとき 1≦k≦5 、n=1,2 のとき 0≦k≦5 、n=3,4,5 のとき -1≦k≦4 、

  n=6,7,8 のとき -2≦k≦3 、n=9 のとき -3≦k≦2 の 全部で59個です。

 (3) m+1700+n (0≦m≦9,0≦n≦99) と表される場合

  10000以上の最小の17の倍数は 10013 ですので、n≡13m≡-4m であればよいことになり、

  n=-4m+17k と表され、0≦-4m+17k≦99 、4m/17≦k≦(99+4m)/17 です。

  m=0 のとき 0≦k≦5 、m=1,2,3,4 のとき 1≦k≦6 、m=5,6,7,8 のとき 2≦k≦7 、

  m=9 のとき 3≦k≦7 の 全部で59個です。

 (4) 17000+n (0≦n≦999) と表される場合

  n=17k と表され、0≦17k≦999 、0≦k≦58 の 59個です。

 この中で、1717,17017,17170 が重複していますので、

 4桁または5桁のものは 58+59+59+59-3=232 個です。

 この中で、1700未満のものは、

 (2) 10m+170+n (1≦m≦99,0≦n≦9) の m=1 だけで、m≡6n より n=3 、1173 です。

 また、99000以上のものは、

 (2) 10m+170+n (1≦m≦99,0≦n≦9) の m=99 だけで、m≡6n より n=8 、99178 です。

 よって、最小のものは 1173 、最大のものは 99178 です。

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Comments 14

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綾  
No title

フクジュソウ咲きましたネ

今朝‐5℃、庭のフクジュソウの蕾、霜柱に囲まれながら頑張っています!

ほんとはメゾソプラノ  
No title

こんにちは~
福寿草ですか?
いい光加減で撮れていますね
素敵です!!

ゆうこ つれづれ日記  
No title

一番に春を告げてくれる
福寿草が咲いているのですね。
道東では来月末には咲いてくれるかなぁ~~
庭の福寿草は咲いてくれるかどうか・・・
ナイス☆

ニリンソウ  
No title

福寿草春の光集めて輝く!
待ち遠しい花です。

ナイス

スモークマン  
No title

グーテンアーベント ^^
どうも考えにくくって...ドボン...^^;
>下3桁が 001 である最小の17の倍数は 6001
にも気づけなかったり...^^;; Orz~
ちなみに...
>> 10000以上の最小の17の倍数は 10013
ですね ^^

POPS  
No title

こんばんは。
福寿草のビタミンカラーが綺麗に咲きましたね。
光の当たり具合も絶妙でいいですね。
ナイス

ヤドカリ  
No title

綾さん、早速のコメントとナイス!をありがとうございます。
其方の福寿草は霜柱の中で頑張っているのですね。
開花が待たれますね。

ヤドカリ  
No title

ほんとはメゾソプラノさん、早速のコメントとナイス!をありがとうございます。
福寿草は春の光を浴びた金杯のような花です。
被写体が良いので、写真も見栄えします。

ヤドカリ  
No title

ゆうこさん、早速のコメントとナイス!をありがとうございます。
同じ花でも、こちらが忘れた頃にゆうこさんのブログで見せてもらうことがあります。
こちらの来月末は、桜が満開になっていると思います。

ヤドカリ  
No title

ニリンソウさん、コメントをありがとうございます。
福寿草は本当に待ち遠しい花ですね。
1日だけこちらで雪が積もったのですが、雪の中に福寿草は似合いませんでした。

ヤドカリ  
No title

スモークマンさん、コメントとナイス!をありがとうございます。
タイプミスのご指摘を有難うございます。
こんな問題は地道に解くしかないですね。

ヤドカリ  
No title

POPSさん、コメントとナイス!をありがとうございます。
福寿草に春の光が当たると金杯のようです。
福寿草の名前もピッタリだと思います。

樹☆  
No title

わぁすてきに撮れてますね。
福寿草・・まさしく春の輝きです。それでいて、とてもあったかく感じます。

ヤドカリ  
No title

樹ちゃん、コメントとナイス!をありがとうございます。
黄色の花は春らしく感じますね。
2月も下旬になると春が見え隠れします。