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[答1174] 畳の敷き方の数

ヤドカリ

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[答1174] 畳の敷き方の数


 図のように、4×14 の長方形を 1×2 の長方形の紙28枚ですき間なく埋める方法は、何通り?

 右側はそのその埋め方の例です。回転や対称移動で同じになる埋め方も区別するものとします。


[解答]

 4×n の長方形を 1×2 の長方形の紙 2n 枚ですき間なく埋める方法を an 通りとします。

 図のように、a1=1 ,a2=5 、黄色の部分に4通りずつの埋め方があるので、a3=11 です。

 次に、n≧4 のとき、4×n の長方形を 4×k と 4×(n-k) の長方形に分ける最小のkで場合分けすれば、

 a4=a3+4a2+2a1+3=36 、a5=a4+4a3+2a2+3a1+2 、a6=a5+4a4+2a3+3a2+2a1+3 、

 a7=a6+4a5+2a4+3a3+2a2+3a1+2 、a8=a7+4a6+2a5+3a4+2a3+3a2+2a1+3 、……… となって、

 an+1+an=an+5an-1+6an-2+5an-3+5an-4+……+5a1+5 、

 an+1=5an-1+6an-2+5an-3+5an-4+……+5a1+5 、

 a4=36=5・5+6・1+5=5a2+6a1+5 だから、

 an=5an-2+6an-3+5an-4+5an-5+……+5a1+5 も成り立ち、

 an+1-an=5an-1+an-2-an-3 、an+1=an+5an-1+an-2-an-3 です。

 a5=a4+5a3+a2-a1=95 ,a6=a5+5a4+a3-a2=281 ,a7=a6+5a5+a4-a3=781 ,

 a8=a7+5a6+a5-a4=2245 ,a9=a8+5a7+a6-a5=6336 ,a10=a9+5a8+a7-a6=18061 ,

 a11=a10+5a9+a8-a7=51205 ,a12=a11+5a10+a9-a8=145601 ,a13=a12+5a11+a10-a9=413351 ,

 a14=a13+5a12+a11-a10=1174500 です。

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Comments 10

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ひとりしずか  
No title

ベニバナマンサクかな……
春を告げる花が次々と咲いて~

今朝も-3℃でした~

樹☆  
No title

こんばんは
アカバナマンサクでしょうか?
細い花びらが絡んで面白いかたちですね。
今日は暖かくてよかったです。

スモークマン  
No title

グーテンアーベント ^^
類似問には遭遇したことあるのですが...
これは流石に、、、どう考えればいいのか...?
手も足も出ませんでした ^^;
解かれてる皆さん、さすがですねぇ☆

ニリンソウ  
No title

今晩は~
アカバナマンサクでしょう・・・春の空に似合います。

ナイス

POPS  
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こんばんは。
アカバナマンサクが綺麗ですね~。
今年はグリーンセンターで、咲き始めのを見ただけでした。
ナイス

ヤドカリ  
No title

ひとりしずかさん、早速のコメントとナイス!をありがとうございます。
春を告げる花が、だんだん多くなってきました。
此方では今朝はだいぶ暖かでした。

ヤドカリ  
No title

樹ちゃん、コメントとナイス!をありがとうございます。
アカバナマンサクの花弁は面白い形をしていますね。
当方でも今日は暖かく、マフラーは必要なくなりました。

ヤドカリ  
No title

スモークマンさん、コメントをありがとうございます。
このような問題は数えるのが大変です。
2×nでもフィボナッチ数列になって面倒です。

ヤドカリ  
No title

ニリンソウさん、コメントをありがとうございます。
春の空を背景にすると花も見映えします。
マンサクは季節を感じる花ですね。

ヤドカリ  
No title

POPSさん、コメントとナイス!をありがとうございます。
季節を感じる花ですね。
だんだん暖かくなってきています。