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完全数について

ヤドカリ

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昨年末に 50番目の完全数が発見されたことをつい最近知り、記事にしました。

完全数というのは、その数自身を除く正の約数の和がもとの数に等しい自然数のことです。
例えば、6=1+2+3 ,28=1+2+4+7+14 は完全数です。
現在、発見されている完全数は50個しかなく、50番目の完全数は2017年12月26日に発見されたばかりです。
完全数のうち小さい4個は 6,28,496,8128 で、古代から知られていました。
6=2・3 ,28=22・7 ,496=24・31 ,8128=26・127 で、50番目の完全数は、277232916(277232917-1) です。
事実、偶数の完全数は 2p-1(2p-1) の形に素因数分解されます。
奇数の完全数については1つも発見されていませんし、存在しないことも証明されていません。

偶数の完全数は 2p-1(2p-1) の形に素因数分解されることは、次のように証明できます。
nの正の約数の総和を S(n) とすれば、S(n)=2n を満たすnが完全数です。
nは偶数のとき、n=2p-1m (p>1,mは奇数) とすれば、
S(n)=S(2p-1m)=S(2p-1)S(m)=(2p-1)S(m) と 2n=2pm が等しいので、
S(m)=2pm/(2p-1)=(2pm-m+m)/(2p-1)=m+m/(2p-1) になり、
S(m),m は自然数ですので、m/(2p-1) も自然数です。
また、m/(2p-1) が自然数であれば、mの約数ですので、
S(m)は mの約数2個の和で表されていることになり、mは素数で、m/(2p-1)=1 、m=2p-1 です。
偶数の完全数は 2p-1(2p-1) (ただし 2p-1 は素数) の形になります。

2p-1 は2進法で表すと 1 がp個並ぶ数ですので、111111(2) が 11(2) や 111(2) の倍数であるように、
pがqの倍数であれば 2p-1 は 2q-1 の倍数です。
従って、pが合成数であれば、2p-1 は合成数になり、2p-1 が素数になるのはpが素数のときだけです。
ただし、pが素数であっても、
 211-1=2047=23・89 ,223-1=8388607=47・178481 ,229-1=536870911=233・1103・2089 ,
 237-1=137438953471=223・616318177 ,241-1=2199023255551=13367・164511353 ,
 243-1=8796093022207=431・9719・2099863 ,247-1=140737488355327=2351・4513・13264529 ,
 253-1=9007199254740991=6361・69431・20394401 ,
 259-1=576460752303423487=179951・3203431780337
のように 2p-1 の多くは合成数になります。
2p-1 (pは素数) の形の自然数が素数になれば、それをメルセンヌ素数といいます。
2017年末に50番目のメルセンヌ素数が発見され、50番目の完全数が発見されたことになります。
上の表は、現在知られているメルセンヌ素数・完全数すべてです。
なお、表の左端は小さい順の番号で、"?" は それ以下にまだ存在する可能性があり 確定していません。

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Comments 4

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ニリンソウ  
No title

ハルコガネバナとは良く言ったもので
サンシュユの黄色は春の色。

ナイス

ヤドカリ  
No title

ニリンソウさん、コメントとナイス!をありがとうございます。
黄色の花は春らしく感じますね。
山茱萸の黄色は目立ちます。春の色だと私も思います。

POPS  
No title

こんばんは。
サンシュユも咲きだしましたか。
鮮やかなビタミンカラーが綺麗で、この時期は次々と花が咲くので忙しくなりますね。
ナイス

ヤドカリ  
No title

POPSさん、コメントとナイス!をありがとうございます。
仰る通り、次々と花が咲き、忙しくなりそうです。
山茱萸の黄色は春らしいいい色だと思います。