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[答113] 差の期待値

ヤドカリ

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[答113] 差の期待値

 1,2,3,4,5,6,7,8,9,10 と書かれたカードが1枚ずつ、全部で 10 枚あります。

 この中の2枚を取り出すとき、その数の差の期待値は?


[解答]

 差が1の場合は9通り、差が2の場合は8通り、……、差が9の場合は1通り、

 全部で、102=45 通りあります。

 従って、期待値は、1・9/45+2・8/45+……+9・1/45=11/3 になります。


[参考]

 1,2,……,n のn枚の場合は、

 差がkの場合は(n-k)通りで、全部で、n2=n(n-1)/2 通りあります。

 k=1,2,……,n-1 (k=1,2,……,n) として、

 Σk(n-k)/n2

  =Σ2(nk-k2)/{n(n-1)}

  =2{n・(n-1)n/2-(n-1)n(2n-1)/6}/{n(n-1)}

  =2{n/2-(2n-1)/6}=(n+1)/3 になります。

☆ 左図は赤数字の差を青数字で表したものです。平均は重心赤●辺りになります。

☆ 再出発さんの解答から想像した図です。右図は左図の青数字を高さで表したもので、

   高さの平均は、n+13 / n2=(n+1)/3 になります。

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Comments 6

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再出発  
No title

その通りの図でした。
言葉で説明するのは難しかったのですが
奇跡的(?)に伝わりました!
あっ、最後の式がちょっと・・・

アキチャン  
No title

おはようございます。
黄色いチューリップ・・・沢山並んで綺麗ですね (o^-^o)

ヤドカリ  
No title

再出発さん、コメントを有難う御座います。
図にすると綺麗だったのでUPしました。
最後の式は、nCk の和が (n+1)C(k+1) になることを利用しました。
+1 を打ち忘れていました。訂正しました。

ヤドカリ  
No title

アキチャンさん、コメントを有難う御座います。
内容をご理解頂いたでしょうか?

再出発  
No title

きれいな図をありがとうございます。
解答を送るときに、画像を添付できるようになると便利ですね。

ヤドカリ  
No title

再出発さん、コメントを有難う御座います。
画像はゲスブには添付できます。ちょっと面倒ですが。。。