[答113] 差の期待値

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[答113] 差の期待値

　１,２,３,４,５,６,７,８,９,10 と書かれたカードが１枚ずつ、全部で 10 枚あります。

　この中の２枚を取り出すとき、その数の差の期待値は？


[解答]

　差が１の場合は９通り、差が２の場合は８通り、……、差が９の場合は１通り、

　全部で、₁₀Ｃ₂＝45 通りあります。

　従って、期待値は、1･9/45＋2･8/45＋……＋9･1/45＝11/3 になります。


[参考]

　１,２,……,ｎ のｎ枚の場合は、

　差がｋの場合は(n－k)通りで、全部で、_nＣ₂＝n(n－1)/2 通りあります。

　k＝1,2,……,n－1 (k＝1,2,……,n) として、

　Σk(n－k)/_nＣ₂

　 ＝Σ2(nk－k²)/{n(n－1)}

　 ＝2{n･(n－1)n/2－(n－1)n(2n－1)/6}/{n(n－1)}

　 ＝2{n/2－(2n－1)/6}＝(n＋1)/3 になります。

☆ 左図は赤数字の差を青数字で表したものです。平均は重心赤●辺りになります。

☆ 再出発さんの解答から想像した図です。右図は左図の青数字を高さで表したもので、

　 　高さの平均は、_n+1Ｃ₃ / _nＣ₂＝(n＋1)/3 になります。

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