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[答1179] 角の二等分線と辺の比

ヤドカリ

ヤドカリ



[答1179] 角の二等分線と辺の比


 △ABCの 内角 ∠A,∠B,∠C の二等分線と対辺の交点をそれぞれ D,E,F とします。

 BF:CE=10:7 ,CD:AF=11:8 のとき、AE:BD=? また、BC:CA:AB=?


[解答]

 BF:CE=10:7 より BF=10p ,CE=7p 、CD:AF=11:8 より CD=11q ,AF=8q とおきます。

 AD,BE,CF は△ABCの内心で交わりますので、チェバの定理より、

 (AF/FB)(BD/DC)(CE/EA)=1 、AE/BD=(AF・CE)/(BF・CD)=(8q・7p)/(10p・11q)=28/55 、

 AE:BD=28:55 ですので、AE=28r ,BD=55r とおきます。

 また、BC=a,CA=b,AB=c とすれば、角の二等分線の性質を使って、

 CA:CB=AF:FB より b:a=8q:10p=4q:5p 、

 AB:AC=BD:DC より c:b=55r:11q=5r:q=20r:4q だから、a:b:c=5p:4q:20r 、

 5p/a=4q/b=20r/c=20/k とおけば、p=4a/k ,q=5b/k ,r=c/k です。

 a=BC=BD+DC=55r+11q=55c/k+55b/k=55(b+c)/k 、b+c=ak/55 、

 b=CA=CE+EA=7p+28r=28a/k+28c/k=28(c+a)/k 、c+a=bk/28 、

 c=AB=AF+FB=8q+10p=40b/k+40a/k=40(a+b)/k 、a+b=ck/40 だから、

 a+b+c=a(k/55+1)=b(k/28+1)=c(k/40+1) 、

 (a+b+c)/a=(k+55)/55 ,(a+b+c)/b=(k+28)/28 ,(a+b+c)/c=(k+40)/40 、

 a/(a+b+c)=55/(k+55) ,b/(a+b+c)=28/(k+28) ,c/(a+b+c)=40/(k+40) 、

 辺々加えて 1=55/(k+55)+28/(k+28)+40/(k+40) 、k/(k+55)=28/(k+28)+40/(k+40) 、

 分母を払って k(k+28)(k+40)=28(k+40)(k+55)+40(k+55)(k+28) 、

 k3+68k2+1120k=28k2+2660k+28・40・55+40k2+3320k+28・40・55 、

 k3-4860k-2・28・40・55=0 、(k-80)(k2+80k+1540)=0 、k>0 より k=80 になり、

 a+b+c=a(k/55+1)=b(k/28+1)=c(k/40+1) より、

 a(80/55+1)=b(80/28+1)=c(80/40+1) 、27a/11=27b/7=3c 、a/11=b/7=c/9 、

 BC:CA:AB=a:b:c=11:7:9 です。

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Comments 11

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ひとりしずか  
No title

半透明な花びらが春の陽射しを浴びて

アキチャン  
No title

おはようございます。
咲きだしたお花?それともまだ咲いているお花?わからないお花です(笑)(*´∀`*)

ニリンソウ  
No title

おはようございます!
昨日は暑かったです。。低木の花のようですね
ウグイスカグラかな下から覗きこんだ小さい花。

ナイス

スモークマン  
No title

グーテンターク ^^
チェバが使いきれないもので...^^;
q=rと考えて、ベンツ切りで考えました ^^;v
なんとか求めることができましたぁ♪ Orz~

ヤドカリ  
No title


写真の花は、
ロニセラ フラグランティシマ という
スイカズラ科の落葉低木で、
別名 冬咲きニオイカズラです。
枝の先に小さな白い花を咲かせます。
花の文化園で見ました。

ヤドカリ  
No title

ひとりしずかさん、早速のコメントとナイス!をありがとうございます。
上に記しましたように、ロニセラ フラグランティシマ です。
名前はややこしいですが、透き通るような花弁がいいですね。

ヤドカリ  
No title

アキチャンさん、早速のコメントとナイス!をありがとうございます。
上に記しましたように、ロニセラ フラグランティシマ です。
分からなくても仕方ないですね。

ヤドカリ  
No title

ニリンソウさん、コメントをありがとうございます。
仰る通り、スイカズラ科の低木です。
スイカズラぼ花はまだまだですが、一足先に見た感じです。

ヤドカリ  
No title

スモークマンさん、コメントとナイス!をありがとうございます。
チェバの定理は役立ちますね。
この問題は計算を破綻なく出来れば正解に達します。

POPS  
No title

こんばんは。
この花はツツジの仲間でしょうか?
白い艶やかな花びらが綺麗ですね~。
家の近所の公園ではソメイヨシノが二厘咲いてました。
ナイス

ヤドカリ  
No title

POPSさん、コメントとナイス!をありがとうございます。
上に記しましたように、ロニセラ フラグランティシマ です。
スイカズラの仲間で、この時期に咲きます。
ソメイヨシノの開花の時期でもありますね。