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楕円・双曲線の焦点から出た光

ヤドカリ

ヤドカリ



 楕円・双曲線が鏡でできていて、片方の焦点から光を出せば、
 楕円では他方の焦点を通るように反射し、双曲線では他方の焦点から直進するように反射します。
 また、同じ2焦点をもつ 楕円と双曲線は その交点において(接線が)直交します。
 このことはよく知られていますが、座標での証明は計算がかなり面倒です。
 そこで、幾何学的に証明します。

 焦点を F,F' とし、楕円・双曲線上の点を P 、P での接線に関して F と対称な点を F" とし、
 P での接線上の任意の点 Q に対し、FQ と 楕円・双曲線との交点を R とします。

 楕円の場合、Q が P 以外の点であれば、
 F'Q+QF"=F'Q+QF=F'Q+QR+RF>F'R+RF=F'P+PF=F'P+PF" ですので、
 接線上の点 Q のうち F'Q+QF" を最小にする点が P です。
 よって、P は 直線 F'F" 上にあり、
 ∠FPF' の、内角の二等分線が法線,外角の二等分線が接線 です。

 双曲線の場合、Q が P 以外の点であれば、
 F'Q-QF"=F'Q-QF=F'Q-QR-RF<F'R-RF=F'P-PF=F'P-PF" ですので、
 接線上の点 Q のうち F'Q-QF" を最大にする点が P です。
 Q が直線 F'F" 上になければ F'Q-QF"<F'F" で、直線 F'F" 上にあれば F'Q-QF"=F'F" 、
 よって、P は 直線 F'F" 上にあり、
 ∠FPF' の、内角の二等分線が接線,外角の二等分線が法線 です。

 「同じ2焦点をもつ 楕円と双曲線は その交点において(接線が)直交する」ことは、
 楕円と双曲線の接線が、∠FPF' の 外角と内角の二等分線であるので明らかです。

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Comments 12

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ヤドカリ  
No title


写真は、オーガスタというゴクラクチョウ科の花で、
学名は、Strelitzia nicolai(ストレリチア ニコライ)、
名前の由来は皇帝ニコライ一世の名前から。
また、白い鳥のようなお花を咲かせることから、
別名、 White Bird-of-Paradise(天国の白い鳥)です。

ひとりしずか  
No title

はじめて知りました!
天国の白い白鳥ですか……

ニリンソウ  
No title

おはようございます
花の説明があって納得です、葉も花も極楽鳥で
白花だと思った。
そちら桜は大分膨らんだでしょうね、東京、宮崎で
開花との情報でしたから。

ひとりしずか  
No title

ルリゴクラクチョウカとは別ですか?

ほんとはメゾソプラノ  
No title

おはようございます

天国の白い鳥!かっこいいですね~!
大きそうで迫力ありますね

今回の数学の問題もすごいですね
まったくのちんぷんかんぷんですが
とても図に惹かれましたー

アキチャン  
No title

おはようございます。
よく見るゴクラクチョウと似ていますが、すこし色合いが違いますね。(*´∀`*)

POPS  
No title

こんばんは。
この花はなんでしょう?
温室に咲いている様ですね。
桜の開花も始まってますね。
ナイス

ヤドカリ  
No title

ひとりしずかさん、早速のコメントとナイス!をありがとうございます。
天国の白い鳥です。あまり見かけません。
ルリゴクラクチョウカは知りませんでしたが、
調べると多分そのようにも言うようです。

ヤドカリ  
No title

ニリンソウさん、早速のコメントをありがとうございます。
私も初めて見た時、極楽鳥花の白花だと思いました。
ところで、昨日は枝垂れ桜を見ました。

ヤドカリ  
No title

ほんとはメゾソプラノさん、早速のコメントをありがとうございます。
天国の白い鳥、そのように名付ける気持ちが分かるような気がします。
ところで、楕円や双曲線は面白い性質があり、その1つを紹介しました。

ヤドカリ  
No title

アキチャンさん、早速のコメントとナイス!をありがとうございます。
上に記しましたように、ゴクラクチョウ科の花です。
色は珍しいと思います。

ヤドカリ  
No title

POPSさん、コメントとナイス!をありがとうございます。
仰る通り、温室に咲いていました。
ところで、桜の開花は早いですね。