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[答1180] 外心と垂心の距離の平方

ヤドカリ

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[答1180] 外心と垂心の距離の平方


 鋭角三角形ABCの 外接円は直径が1で 外心を O とすれば △OBC:△OCA:△OAB=6:2:5 です。

 △ABCの垂心を H とするとき、OH2=?


[解答1]

 太字はベクトルを表すものとし、OAaOBbOCc とします。

 また、AOの延長と辺BCの交点を D とします。

 BD:DC=△OAB:△OAC=5:2 だから、DはBCを 5:2 に内分し、OD=(2b+5c)/7 、

 AO:OD=(△OAB+△OAC):△OBC=(5+2):6=7:6 だから、OA/7=-OD/6 、

 よって、6OA+7OD0 、6a+2b+5c0 です。

 a・(6a+2b+5c)=0 より 6|a|2+2ab+5ca=0 、

 b・(6a+2b+5c)=0 より 6ab+2|b|2+5bc=0 、

 c・(6a+2b+5c)=0 より 6ca+2bc+5|c|2=0 、

 |a|=|b|=|c|=1/2 なので、

 2ab+5ca=-3/2 ……(1) ,6ab+5bc=-1/2 ……(2) ,3cabc=-5/8 ……(3) です。

 (1)+(2)×3+(3)×5 より、20bc+20ca+20ab=-49/8 、2bc+2ca+2ab=-49/80 です。

 ここで、OEabc とおけば、

 AECB=(bc)・(bc)=|b|2-|c|2=0 、AE⊥BC で、

 BECA=(ac)・(ac)=|a|2-|c|2=0 、BE⊥CA ですので、

 Eは △ABCの垂心となり、E,H は一致し、OHabc です。

 OH2=|OH|2=|abc|2=|a|2+|b|2+|c|2+2bc+2ca+2ab=1/4+1/4+1/4-49/80=11/80 です。

[関連]

 (1)(2)(3)より bc=7/80 ,ca=-19/80 ,ab=-5/32 を求めておけば、

 BC2=|cb|2=|c|2-2bc+|b|2=1/4-7/40+1/4=13/40 、

 CA2=|ac|2=|a|2-2ca+|c|2=1/4+19/40+1/4=39/40 、

 AB2=|ba|2=|b|2-2ab+|a|2=1/4+5/16+1/4=13/16 です。


[解答2]

 xy平面上で、O(0,0),A(-a,d),B(-b,-c),C(b,-c) とすれば H(-a,d-2c) です。

 △OBC=bc=6k ,△OCA=(bd-ac)/2=2k ,△OAB=(ac+bd)/2=5k と表せば、

 bd=7k ,ac=3k になり、a:b=ac:bc=3k:6k=1:2 より b=2a 、

 c:d=bc:bd=6k:7k=6:7 より c=6t ,d=7t と表せます。

 OA=OB=OC=1/2 より a2+d2=b2+c2=1/4 、a2+49t2=4a2+36t2=1/4 、

 これを解いて、a2=13/640 ,t2=3/640 です。

 OH2=a2+(d-2c)2=a2+(7t-2・6t)2=a2+25t2=13/640+25・3/640=11/80 です。

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Comments 10

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ひとりしずか  
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セリバオウレン小さな白い花(今年は見にいけるかなぁ~)

ニリンソウ  
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おはようございます。
そちらはセリバオウレンなのですか。早春の森で
最初に見る山野草です。

ナイス

スモークマン  
No title

グーテンターク ^^
難しかったわ...
座標で重心を求めて、オイラー線の性質を使いました ^^;
[解答2]で、
>H(-a,d-2c) です
のところがわかりません...
もちっと詳しく教えていただけましたらありがたいです ~m(_ _)m~

POPS  
No title

こんばんは。
この花はなんでしょうか?
キクザキイチゲではないですよね。
真っ白な花が綺麗に咲き揃いましたね。
ナイス

ヤドカリ  
No title

ひとりしずかさん、早速のコメントとナイス!をありがとうございます。
セリバオウレンを見るのも春の楽しみのひとつです。
たくさん咲いていました。

ヤドカリ  
No title

ニリンソウさん、早速のコメントをありがとうございます。
ニリンソウさんの所では、キクバオウレンですね。
葉の違いはあっても、早春の息吹を感じる花ですね。

ヤドカリ  
No title

スモークマンさん、コメントとナイス!をありがとうございます。
[解答1]の通り、外心を原点にとると、
垂心は3頂点の座標を加えたものになります。
オイラー線を知っていれば、すぐに導けます。

ヤドカリ  
No title

POPSさん、コメントとナイス!をありがとうございます。
セリバオウレンという早春の山野草です。
小さな白い花が競うようにして咲きます。

アキチャン  
No title

こんにちわ。
名前はわからなかったですが、よく見ますね~(*´∀`*)
白くてきれい♪

ヤドカリ  
No title

アキチャンさん、コメントとナイス!をありがとうございます。
セリバオウレンという早春の山野草です。
私はあまり見かけませんので、見に行きました。