[答1181] さいころの目の和
[答1181] さいころの目の和
さいころ5個を投げるとき、目の和が 22以上25以下である確率は?
いずれのさいころも 1から6の目が等確率で出るものとします。
[参考]
例えば、5つの自然数の和が 13以下の場合の数は ○○○○○○○○○○○○○ から5個を選び、
左から順に A,B,C,D,E とすれば ○A○○○B○CD○○E○ のようになり、
各文字の右の○を同じ文字にすれば ○AAAABBCDDDEE なり、
各文字の個数を数えれば 4+2+1+3+2 になりますので、13C5 です。
このように、自然数r個の和がn以下になる場合の数は nCr です。
[解答1]
さいころの目が 1の裏が6,2の裏が5,3の裏が4 とすれば、
5個の出る目の和がnのとき、隠れる目の和は 35-n ですので、
隠れる目の和が 10以上13以下と考えれば、数が簡単になります。
5個の自然数の和が13以下になるのは、13C5=13・12・11・10・9/5!=1287 通り、
そのうち、目の和が9以下になるのは、9C5=9C4=9・8・7・6/4!=126 通りですので、
5個の自然数の和が10以上13以下になるのは、1287-126=1161 通りです。
そのうち、さいころの目でない 7,8,9 を含む場合を減じます。
7を含む場合は他の4個の和が6以下ですので、6C4=6C2=15 通り、
8を含む場合は他の4個の和が5以下ですので、5C4=5C1=5 通り、
9を含む場合は他の4個の和が4ですので、1 通り、合計 15+5+1=21 通りあり、
7,8,9 が入る位置がいずれの場合も5通りですので、21・5=105 通りです。
よって、隠れる目の和が 10以上13以下になる場合の数は 1161-105=1056 通り、
その確率は、1056/65=11/81 です。
[解答2]
(x6+x5+x4+x3+x2+x)5
=x30+5x29+15x28+35x27+70x26+126x25+205x24+305x23+420x22+540x21+651x20+735x19+780x18
+780x17+735x16+651x15+540x14+420x13+305x12+205x11+126x10+70x9+35x8+15x7+5x6+x5
の、x25 ,x24 ,x23 ,x22 の係数を加えて、126+205+305+420=1056 、
これが、目の和が 22以上25以下である場合の数で、確率は 1056/65=11/81 です。
.