[答1181] さいころの目の和

[答1181] さいころの目の和


　さいころ５個を投げるとき、目の和が 22以上25以下である確率は？

　いずれのさいころも １から６の目が等確率で出るものとします。


[参考]

　例えば、５つの自然数の和が 13以下の場合の数は ○○○○○○○○○○○○○ から５個を選び、

　左から順に A，B，C，D，E とすれば ○Ａ○○○Ｂ○ＣＤ○○Ｅ○ のようになり、

　各文字の右の○を同じ文字にすれば ○ＡＡＡＡＢＢＣＤＤＤＥＥ なり、

　各文字の個数を数えれば ４＋２＋１＋３＋２ になりますので、₁₃Ｃ₅ です。

　このように、自然数ｒ個の和がｎ以下になる場合の数は _nＣ_r です。


[解答1]

　さいころの目が １の裏が６，２の裏が５，３の裏が４ とすれば、

　５個の出る目の和がｎのとき、隠れる目の和は 35－n ですので、

　隠れる目の和が 10以上13以下と考えれば、数が簡単になります。

　５個の自然数の和が13以下になるのは、₁₃Ｃ₅＝13･12･11･10･9/5!＝1287 通り、

　そのうち、目の和が９以下になるのは、₉Ｃ₅＝₉Ｃ₄＝9･8･7･6/4!＝126 通りですので、

　５個の自然数の和が10以上13以下になるのは、1287－126＝1161 通りです。

　そのうち、さいころの目でない 7，8，9 を含む場合を減じます。

　７を含む場合は他の４個の和が６以下ですので、₆Ｃ₄＝₆Ｃ₂＝15 通り、

　８を含む場合は他の４個の和が５以下ですので、₅Ｃ₄＝₅Ｃ₁＝5 通り、

　９を含む場合は他の４個の和が４ですので、1 通り、合計 15＋5＋1＝21 通りあり、

　7，8，9 が入る位置がいずれの場合も５通りですので、21･5＝105 通りです。

　よって、隠れる目の和が 10以上13以下になる場合の数は 1161－105＝1056 通り、

　その確率は、1056/6⁵＝11/81 です。


[解答2]

　(x⁶＋x⁵＋x⁴＋x³＋x²＋x)⁵

　＝x³⁰＋5x²⁹＋15x²⁸＋35x²⁷＋70x²⁶＋126x²⁵＋205x²⁴＋305x²³＋420x²²＋540x²¹＋651x²⁰＋735x¹⁹＋780x¹⁸

　 ＋780x¹⁷＋735x¹⁶＋651x¹⁵＋540x¹⁴＋420x¹³＋305x¹²＋205x¹¹＋126x¹⁰＋70x⁹＋35x⁸＋15x⁷＋5x⁶＋x⁵

　の、x²⁵ ，x²⁴ ，x²³ ，x²² の係数を加えて、126＋205＋305＋420＝1056 、

　これが、目の和が 22以上25以下である場合の数で、確率は 1056/6⁵＝11/81 です。

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