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[答1182] 不等式を満たす整数の組

ヤドカリ

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[答1182] 不等式を満たす整数の組


 集合S,集合Tを S={0,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10},

 T={(a,b,c,d)|a∈S,b∈S,c∈S,d∈S,3a≦b+c+d+10} とするとき、

 集合Tの要素の個数は?


[参考]

 例えば、3つの負でない整数の和が 10以下の場合の数は、

 ○○○○○○○○○○ の間または両端から重複を許して3個を選び、

 そこに区切りを入れれば ○○○|○|○○○○|○○ のようになり、

 各区切りまでの○の個数を数えれば 3+1+4 になりますので、113 です。

 このように、3つの負でない整数の和がn以下の場合の数は、n+13=(n+1)(n+2)(n+3)/6 です。

 一般に、負でない整数r個の和がn以下になる場合の数は n+1r です。


[解答]

 全体集合U={(a,b,c,d)|a∈S,b∈S,c∈S,d∈S} とすれば、

 Uの要素の個数は 114=14641 個で、

 Tの補集合{(a,b,c,d)|(a,b,c,d)∈U,3a>b+c+d+10}の要素の個数を求めます。

 b+c+d<3a-10 、b+c+d≦3a-11 ですので、

 4≦a≦10 において、負でない整数3個の和が(3a-11)以下になる場合の数は

 (3a-10)(3a-9)(3a-8)/6=(a-3)(3a-10)(3a-8)/2 で、

 1・2・4/2+2・5・7/2+3・8・10/2+4・11・13/2+5・14・16/2+6・17・19/2+7・20・22/2

  =4+35+120+286+560+969+1540=3514 、

 b≧11 のとき (b-11)+c+d≦3a-22 ですので、

 8≦a≦10 において、負でない整数3個の和が(3a-22)以下になる場合の数は

 (3a-21)(3a-20)(3a-19)/6=(a-7)(3a-20)(3a-19)/2 です。

 c≧11,d≧11 のときも同様で、11以上の整数を含む場合の数は、3(a-7)(3a-20)(3a-19)/2 で、

 3・1・4・5/2+3・2・7・8/2+3・3・10・11/2=30+168+495=693 、

 よって、Tの補集合の要素の個数は 3514-693=2821 です。

 また、Tの要素の数は、14641-2821=11820 です。


[参考]

 S={0,1,2,……,n},T={(a,b,c,d)|a∈S,b∈S,c∈S,d∈S,3a≦b+c+d+n} のとき、

 集合Tの要素の個数は [(59n4+226n3+329n2+210n+72)/72] です。

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Comments 6

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ひとりしずか  
No title

トサミズキですか?
花付きが見応えあります!

ヤドカリ  
No title

ひとりしずかさん、早速のコメントとナイス!をありがとうございます。
仰る通り、トサミズキです。たくさんの花が咲いていました。
蕊が目立つように撮りました。

POPS  
No title

こんばんは。
トサミズキ満開で、ビタミンカラーが素晴らしいですね~。
ヒュウガミズキともに旬の花の一つですね。
ナイス

ヤドカリ  
No title

POPSさん、コメントとナイス!をありがとうございます。
春先は黄色の花が多いように思います。
トサミズキとヒュウガミズキと菜の花に春らしさを感じます。

スモークマン  
No title

グーテンアーベント ^^
b,c,dの順番は変わってもいいと思ったのですが、同じ値を取っても良かったのですねぇ ^^;
考えてたら、頭がごちゃごちゃになってしまいました...^^;;
[参考]は、わかりやすいです☆
[解答]は...熟読玩味ぃ~です ^^;...Orz~

ヤドカリ  
No title

スモークマンさん、コメントとナイス!をありがとうございます。
頭が痛いような場合の数の問題でしたが、
みなさん、正確に解いてくれるものです。
ところで、明日も場合の数を予定しています。