FC2ブログ

Welcome to my blog

[答1188] 自然数の約数

ヤドカリ

ヤドカリ


'


[答1188] 自然数の約数


 例えば 72 の正の約数は 1,2,3,4,6,8,9,12,18,24,36,72 の 12個あり、

 そのうち、6の倍数は 6,12,18,24,36,72 、6の倍数以外は 1,2,3,4,8,9 です。

 このような、約数のうち 6の倍数と6の倍数以外が同数個である自然数があります。

 では、約数のうち 6の倍数と6の倍数以外が同数個である4桁の自然数は何個?

 また、約数のうち 6の倍数と6の倍数以外が同数個である4桁の最小の自然数は?


[解答]

 約数のうち 6の倍数と6の倍数以外が同数個である4桁の最小の自然数は6の倍数なので、

 M,N を自然数,Aを6と互いに素な自然数として、2M・3N・A と表されます。

 2M・3N・A の約数で、6の倍数であるものは、

 m は M以下の自然数 ,n は N以下の自然数 として 2m・3n・(Aの約数) で表され、MNk個ありますので、

 2MNk=(M+1)(N+1)k 、2MN=MN+M+N+1 、MN-M-N+1=2 、(M-1)(N-1)=2 、

 (M-1,N-1)=(2,1),(1,2) 、(M,N)=(3,2),(2,3) です。

 従って、23・32・A=72A ,22・33・A=108A で表される数が該当します。

 72A と 表されるとき、1000≦72A≦9999 だから 14≦A≦138 、

 Aは6と互いに素なので Bを整数として、A=6B+1 または A=6B-1 と表され、

 14≦6B+1≦138 のとき 3≦B≦22 の 20通り、B=3 のとき A=19 、72A=1368 、

 14≦6B-1≦138 のとき 3≦B≦23 の 21通り、B=3 のとき A=17 、72A=1224 、

 108A と 表されるとき、1000≦108A≦9999 だから 10≦A≦92 、

 Aは6と互いに素なので Bを整数として、A=6B+1 または A=6B-1 と表され、

 10≦6B+1≦92 のとき 2≦B≦15 の 14通り、B=2 のとき A=13 、108A=1404 、

 10≦6B-1≦92 のとき 2≦B≦15 の 14通り、B=2 のとき A=11 、108A=1188 、

 よって、4桁の数は 20+21+14+14=69 個で、最小は 1188 です。

.

スポンサーサイト



Comments 10

There are no comments yet.
ひとりしずか  
No title

ハナズオウも咲いてきたんですね~
赤紫の色以外にピンクや白があるようですが見たことないです。

アキチャン  
No title

おはようございます。
春のお花はこの色あいが多いですね。(*´∀`*)

スモークマン  
No title

グーテンターク ^^
わかりやすい☆
わたしゃ...素数を書き並べてカウントしちゃいました...^^;
勉強になります♪ Orz~

POPS  
No title

こんばんは。
この花は何でしょう?
ライラックではないですよね。
濃厚な色合いがいいですね。
ナイス

ヤドカリ  
No title

ひとりしずかさん、早速のコメントとナイス!をありがとうございます。
ハナズオウは少し前から咲いていました。アップするのが遅くなりました。
白のハナズオウは明日にでもお見せします。

ヤドカリ  
No title

アキチャンさん、早速のコメントとナイス!をありがとうございます。
ハナズオウに限らず、春はこの色の花が多いです。
白・黄・紫は春の花の3原色と私は思っています。

ヤドカリ  
No title

スモークマンさん、コメントとナイス!をありがとうございます。
素数を書き並べるのも確実な方法ですが、
なるべく省力化して、能率よく求める方法を探すのも面白いです。

ヤドカリ  
No title

POPSさん、コメントとナイス!をありがとうございます。
この花はハナズオウです。よく見かける花です。
仰るライラックの写真も撮っていますので、いずれアップしたいと思っています。

ニリンソウ  
No title

ハナズオウこの辺でもやっと赤く見えます。
さっぱり気温は上がらないけど季節は進んでるようです。

ナイス

ヤドカリ  
No title

ニリンソウさん、コメントをありがとうございます。
そちらでもハナズオウが見られるようになったのですね。
花については今年の季節の進み方は早いです。