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[答1189] 垂心と頂点の距離の比

ヤドカリ

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[答1189] 垂心と頂点の距離の比


 AB=7,BC=11 である △ABCにおいて、ACを 1:17 に内分する点をNとすると、BN⊥AC です。

 △ABCの垂心を H とするとき、AH:BH=?


[解答]

 一般に、△ABCで、BC=a,CA=b,AB=c とし、AからBCに垂線ADを描けば、

 AD2=AC2-CD2=AB2-BD2 より BD2-CD2=AB2-AC2 、(BD+CD)(BD-CD)=c2-b2

 BC(BD-CD)=c2-b2 、また、BC2=BC(BD+CD)=a2

 よって、2BC・BD=a2+c2-b2 ,2BC・DC=a2+b2-c2 、BD:DC=(a2+c2-b2):(a2+b2-c2) です。

 ここで、CN:NA=(CA2+112-72):(CA2+72-112)=(CA2+72):(CA2-72) 、

 (CA2+72):(CA2-72)=17:1 だから、17(CA2-72)=CA2+72 、16CA2=18・72 、CA2=9・9 、CA=9 です。

 AHの延長とBCの交点をMとすれば、BM:MC=(112+72-92):(112+92-72)=89:153 です。

 メネラウスの定理より、

 (AH/HM)(MB/BC)(CN/NA)=1 、(AH/HM)(89/242)(17/1)=1 、HM/AH=89・17/242 、

 (BH/HN)(NA/AC)(CM/MB)=1 、(BH/HN)(1/18)(153/89)=1 、HN/BH=153/(89・18)=17/(89・2) 、

 M,N は ABを直径とする円周上にあるので 方べきの定理より、

 AH・HM=BH・HN 、AH2(HM/AH)=BH2(HN/BH) 、AH2・89・17/242=BH2・17/(89・2) 、

 AH2・89/121=BH2/89 、AH2/112=BH2/892 、AH/11=BH/89 になり、AH:BH=11:89 です。

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Comments 10

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ひとりしずか  
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甘くやさしい香りがひろがっているのでしょうねネ

ゆうこ つれづれ日記  
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おはようございます。
ライラックが咲いたんですね~~
暖かい札幌でも5月末頃咲くと思います。

優しい色合いのライラック、いいですね。
ナイス☆

スモークマン  
No title

グーテンターク ^^
なんの工夫もなく、BN,ACをx,y軸、Nを原点の座標で計算しましたぁ ^^
巧みな計算ですね Orz~☆

POPS  
No title

こんばんは。
これは藤ではないですね。
何の花でしょうか?
春らしい色合いですね~。
ナイス

ヤドカリ  
No title

ひとりしずかさん、早速のコメントとナイス!をありがとうございます。
ライラックの優しい香りはいいですね。
季節は違いますが、金木犀はきつすぎる気がします。

ヤドカリ  
No title

ゆうこさん、早速のコメントとナイス!をありがとうございます。
ライラックと言えば北海道ですね。「リラ冷え」も北海道の言葉ですね。
こちらでは、3月末に咲き始めました。

ヤドカリ  
No title

スモークマンさん、コメントとナイス!をありがとうございます。
座標で解くのは確実な方法だと思います。
それよりも、簡単な解き方が出来ればいいですね。

ヤドカリ  
No title

POPSさん、コメントとナイス!をありがとうございます。
今年は藤も咲くのが早いですね。
写真は、藤よりも早く咲いてくれるライラックの花です。

ニリンソウ  
No title

ライラック咲くと初夏かな
いい匂いが風にのってきます。

ナイス

ヤドカリ  
No title

ニリンソウさん、コメントをありがとうございます。
3月末から咲き始めました。
その頃も初夏の陽気だった記憶があります。