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[答1196] 三角形と垂線

ヤドカリ

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[答1196] 三角形と垂線


 BC=32,CA=27,AB=25 である △ABCにおいて、

 Aから辺BCにおろした垂線をAD,Dから辺CAにおろした垂線をDK,Dから辺ABにおろした垂線をDX,

 Bから辺CAにおろした垂線をBE,Eから辺ABにおろした垂線をEL,Eから辺BCにおろした垂線をEY,

 Cから辺ABにおろした垂線をCF,Fから辺BCにおろした垂線をFM,Fから辺CAにおろした垂線をFZ

 とするとき、KX=? LY=? MZ=? 


[解答]

 BC=a,CA=b,AB=c,△ABCの面積を S とします。

 △ACD∽△ADK だから、AC:AD=AD:AK=CD:DK 、AK=AD2/b ,DK=AD・CD/b になり、

 △ABD∽△ADX だから、AB:AD=AD:AX=BD:DX 、AX=AD2/c ,DX=AD・BD/c になります。

 また、四角形AXDKは円に内接するので、トレミーの定理より、AD・KX=AK・DX+AX・DK 、

 KX=AK・DX/AD+AX・DK/AD=(AD2/b)(BD/c)+(AD2/c)(CD/b)=AD2(BD+CD)/(bc)

  =AD2・BC/(bc)=AD2・BC2/(abc)=(2S)2/(abc)=4S2/(abc) です。

 同様に、KX=LY=MZ=4S2/(abc) です。

 本問では、a=32,b=27,c=25 ですので、

 (32+27+25)/2=42 、S2=42(42-32)(42-27)(42-25)=42・10・15・17 、

 KX=LY=MZ=4S2/(abc)=4・42・10・15・17/(32・27・25)=119/6 です。

 なお、△ABCの外接円の半径を R とすれば、

 KX=LY=MZ=4S2/(abc)=4S2/(4RS)=S/R です。

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Comments 10

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アキチャン  
No title

おはようございます。
やさしいですね~純真無垢な幼児のように見えました(*´∀`*)

ひとりしずか  
No title

ネモフィラ白もあるんですネ
青と違った感じがします。

ニリンソウ  
No title

青もいいけど白もあるんですね。
ネモフィラ、まだほかにも色があるのかな!

ナイス

ヤドカリ  
No title

アキチャンさん、早速のコメントとナイス!をありがとうございます。
ネモフィラは淡い優しい色だと思います。
その中に時々白いものがあり、純真無垢という言葉が似合いますね。

ヤドカリ  
No title

ひとりしずかさん、早速のコメントとナイス!をありがとうございます。
殆どは水色で、水色に染まっているように見えます。
その中に、白だけのものがあり、近づいて撮りました。

ヤドカリ  
No title

スモークマンさん、鍵コメントとナイス!をありがとうございます。
ご指摘下さり有難うございました。差し替えました。

ヤドカリ  
No title

たけちゃんさん、鍵コメントをありがとうございます。
ご指摘下さり有難うございました。差し替えました。

ヤドカリ  
No title

ニリンソウさん、コメントをありがとうございます。
殆どは外が青で中心部が白で、全体として水色に見えます。
その中に、時々白だけのものがありました。他の色は知りません。

POPS  
No title

こんばんは。
白いネモフィラ綺麗ですね~。
この間花の丘に行った時は青はまだ咲いてましたが、白は終わってました。
ナイス

ヤドカリ  
No title

POPSさん、コメントとナイス!をありがとうございます。
白いネモフィラは青の中に僅かに咲いていました。
遠くからは青いですが、近づくと白いのが混じっていました。