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[答1197] 角の二等分線で折る

ヤドカリ

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[答1197] 角の二等分線で折る


 図のように青の折り紙でできた三角形があり、それぞれの角の二等分線で折ると、

 表の隠れていない部分の面積比が 広い順に 80:45:36 であるとき、3辺の比は?

 3辺の比は長い順に答えてください。


[解答]

 3辺を長い順に a,b,c とします。

 また、表の隠れていない部分の面積を全体の 80/S,45/S,36/S とします。

 a,b の長さの2辺でできる角の二等分線で三角形の面積を a:b に分けるので、

 折ったときに隠れていない部分の面積は全体の (a-b)/(a+b)=(1-b/a)/(1+b/a) です。

 同様に、隠れていない部分の面積は全体の、

 a,c の長さの2辺でできる角の二等分線で折ると (a-c)/(a+c)=(1-c/a)/(1+c/a) 、

 b,c の長さの2辺でできる角の二等分線で折ると (b-c)/(b+c)=(1-c/b)/(1+c/b) 、

 また、b/a>c/a ,c/b>c/a であり、(1-x)/(1+x)=2/(1+x)-1 は単調減少だから、

 (a-c)/(a+c)=(1-c/a)/(1+c/a)=80/S です。

 よって、Sa-Sc=80a+80c 、(S-80)a=(S+80)c になります。

 まず、(a-b)/(a+b)=45/S ,(b-c)/(b+c)=36/S のとき、

  (S-45)a=(S+45)b ,(S-36)b=(S+36)c になり、(S+80)c=(S-80)a と併せて、

  (S-45)(S-36)(S+80)abc=(S+45)(S+36)(S-80)abc 、

  S3-S2-4860S+45・36・80=S3+S2-4860S-45・36・80 、S2=45・36・80 、S=360 、

  (S-80)a=(S+80)c より、280a=440c 、a/11=c/7 、

  (S-45)a=(S+45)b より、315a=405b 、a/9=b/7 、

  (S-36)b=(S+36)c より、324b=396c 、b/11=c/9 、

  よって、a/99=b/77=c/63 、a:b:c=99:77:63 です。

 次に、(a-b)/(a+b)=36/S ,(b-c)/(b+c)=45/S のとき、

  (S-36)a=(S+36)b ,(S-45)b=(S+45)c になり、(S+80)c=(S-80)a と併せて、

  (S-36)(S-45)(S+80)abc=(S+36)(S+45)(S-80)abc 、

  S3-S2-4860S+36・45・80=S3+S2-4860S-36・45・80 、S2=36・45・80 、S=360 、

  (S-80)a=(S+80)c より、280a=440c 、a/11=c/7 、

  (S-36)a=(S+36)b より、324a=396b 、a/11=b/9 、

  (S-45)b=(S+45)c より、315b=405c 、b/9=c/7 、

  よって、a/11=b/9=c/7 、a:b:c=11:9:7 です。

 まとめて、99:77:63 ,11:9:7 です。

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Comments 12

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ひとりしずか  
No title

庭のホタルブクロ蕾はまだ見えません~
すごい勢力です!

ニリンソウ  
No title

早いですね~
ホタルフクロです、白もいいけど
この色もいい。

ナイス

アキチャン  
No title

こんにちわ。
ホタルブクロとスッと出てきました。家に咲かせていたわけではないのになぜだか見慣れた感じがするのが不思議です?(*´∀`*)

ゆうこ つれづれ日記  
No title

イワブクロ、咲いていますねー
このお花はとっても繁殖力が強く
お花もたくさん咲いてくれます。
ナイス☆

スモークマン  
No title

グーテンターク ^^
似た感じで立式を求めましたが....
手計算ではできそうに思えず...^^;
PCにさせちゃいました...Orz...
△の基本的な性質だけでもいろんな問題が作れますものねぇ☆

POPS  
No title

こんばんは。
ホタルブクロが綺麗に咲き揃いましたね。
これを見ると雨の季節を感じさせてくれます。
ナイス

ヤドカリ  
No title

ひとりしずかさん、早速のコメントとナイス!をありがとうございます。
こちらでも最近咲いたばかりです。
形がユニークで、この時期に見たい花のひとつです。

ヤドカリ  
No title

ニリンソウさん、早速のコメントとナイス!をありがとうございます。
こちらでは野草としては白の方が馴染みあります。
この色が見られるようになったのは、比較的新しいと思います。

ヤドカリ  
No title

アキチャンさん、早速のコメントとナイス!をありがとうございます。
ホタルブクロは見栄えのする野草ですね。
それだけに、見慣れた感じがするのでしょう。

ヤドカリ  
No title

ゆうこさん、早速のコメントとナイス!をありがとうございます。
イワブクロの名前は知りませんでしたので、検索してみました。
東北から北海道の山に咲くそうで、見かけられたら記事にして下さいね。

ヤドカリ  
No title

スモークマンさん、コメントとナイス!をありがとうございます。
手計算でできる程度の問題しか、私には作れません。
計算しやすい式を導くのも工夫ですね。

ヤドカリ  
No title

POPSさん、コメントとナイス!をありがとうございます。
ホタルの季節が近づいてきましたね。
昔の子供がホタルをいれて遊んだと聞いたことがあります。