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[答1198] 三角形の面積と辺の長さ

ヤドカリ

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[答1198] 三角形の面積と辺の長さ


 3辺の長さが自然数 a,b,c (a≧b≧c) である三角形の面積が 6√35 のとき (a,b,c)=?


[解答]

 3つの頂点から内接円と辺の接点までの距離を p,q,r (p≦q≦r) とすれば、

 a=q+r ,b=r+p ,c=p+q になり、s=(a+b+c)/2 とおけば、s=p+q+r です。

 ヘロンの公式により s(s-a)(s-b)(s-c)=pqrs=62・35 、

 a+b+c が奇数であれば、s,s-a,s-b,s-c が すべて 奇数/2 で表され、

 積が 62・35 にならないので、a+b+c が偶数であり、

 s,s-a,s-b,s-c がすべて自然数、すなわち、 p,q,r は自然数です。

 また、pqr(p+q+r)=pqrs=62・35=22・32・5・7=1260 ですので、

 もし p,q,r,s の何れかが4の倍数であれば 他の3個は奇数であり、s=p+q+r にならないので、

 p,q,r,s は4の倍数でない自然数です。

 次に、p3・3p≦pqr(p+q+r) より 3p4≦1260 、p4≦420 、p≦4 、p=1,2,3 です。

 更に、pq2・2q<pqr(q+r+p) より 2pq3<1260 、q3<630/p です。

 p=1 のとき、q3<630 、q≦8 、q=1,2,3,5,6,7 、

 p=2 のとき、q3<315 、q≦6 、q=2,3,5,6 、

 p=3 のとき、q3<210 、q≦5 、q=3,5 です。

 pqr(p+q+r)=1260 より r(p+q+r)=1260/(pq) 、4r(p+q+r)=5040/(pq) 、

 (2r+p+q)2=5040/(pq)+(p+q)2 です。

 (p,q)=(1,2),(1,6),(2,3),(2,5) のとき、

 5040/(pq)+(p+q)2=2529,889,865,553 は何れも平方数でないので適しません。

 (p,q)=(1,1),(1,3),(1,5),(1,7),(2,2),(2,6),(3,3),(3,5) のとき、

 {r+(p+q)/2}2=1260/(pq)+{(p+q)/2}2 とし、

 1260/(pq)+{(p+q)/2}2=1261,424,261,196,319,121,149,100 で、

 (p,q)=(1,7),(2,6),(3,5) のとき平方数 196,121,100 になります。

 いずれの場合も (p+q)/2=4 ですので、(r+4)2=196,121,100 、r=10,7,6 、

 (p,q,r)=(1,7,10),(2,6,7),(3,5,6) で、pqr(p+q+r)=1260 を満たします。

 a=q+r,b=r+p,c=p+q だから、(a,b,c)=(17,11,8),(13,9,8),(11,9,8) です。

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Comments 8

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ひとりしずか  
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ニリンソウ実物に会いたい花のひとつです~

スモークマン  
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グーテンターク ^^
よくわからず...当てはめて探しました...^^;;
わたしには解答も...難しぃ...Orz...

次の問題もいまだ気づけず...^^;;;

POPS  
No title

こんばんは。
何の花が咲くでしょうか?
雰囲気的にはもう梅雨に咲く様な花に見えますね。
ナイス

ヤドカリ  
No title

ひとりしずかさん、早速のコメントとナイス!をありがとうございます。
ニリンソウでなく、フタリシズカです。勘違いされたのでしょう。
こちらではヒトリシズカには中々出会えませんが、フタリシズカは時々見ます。

ヤドカリ  
No title

スモークマンさん、コメントをありがとうございます。
結局は、整数問題ですが、
見落としなく求めるのはなかなか大変です。

ヤドカリ  
No title

POPSさん、コメントとナイス!をありがとうございます。
これはフタリシズカの花です。
地味ですが、初夏に出会いたい花です。

アキチャン  
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おはようございます。
初夏を感じましたよ~(*´∀`*)

ヤドカリ  
No title

アキチャンさん、コメントとナイス!をありがとうございます。
フタリシズカも初夏の花ですね。
初夏は白い花が多く、緑の葉の中に白い花が目立ちます。