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[答1199] 整数部分の和と和の整数部分

ヤドカリ

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[答1199] 整数部分の和と和の整数部分


 ガウス記号を用いて、f(x)=x-10[x/10] と定義します。

 Σを k=1 から 360 の和を表すものとして、

 Σ[f((2+√3)k)]=? また、[Σf((2+√3)k)]=?


[解答]

 x≧0 のとき、f(x) は x の10の位以上を除いたものを表し、0≦f(x)<10 です。

 an=(2+√3)n+(2-√3)n とすれば、a1=4 ,a2=14 です。

 2±√3 は x2=4x-1 の解なので、複号同順で、

 (2±√3)2=4(2±√3)-1 、(2±√3)n+2=4(2±√3)n+1-(2±√3)n

 (2+√3)n+2=4(2+√3)n+1-(2+√3)n ,(2-√3)n+2=4(2-√3)n+1-(2-√3)n を 辺々加えて、

 an+2=4an+1-an で、an はすべて自然数です。

 a1=4 ,a2≡4 ,an+2≡4an+1-an (mod 10) だから、

 n=1,2,3,4,5,6,…… について、an の1の位は 4,4,2,4,4,2,…… です。

 0<(2-√3)n<1 だから、[f((2+√3)n)] は 3,3,1,3,3,1,…… で、

 360=3・120 なので、Σ[f((2+√3)k)]=(3+3+1)・120=840 です。

 次に、0<Σ(2-√3)k)<(2-√3)/{1-(2-√3)}=(2-√3)/(√3-1)<1 なので、

 [Σf((2+√3)k)]=(4+4+2)・120-1=1199 になります。

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Comments 12

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ひとりしずか  
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スイカズラ甘い香りが漂ってきそう~
今住んでいる所ではまだ見かけたことがなくて……

ゆうこ つれづれ日記  
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おはようございます。
初めて見るお花です。
木に咲くお花かしら~~

ナイス☆

今日は雨で寒いです。
猫たちは電気暖房の前で暖を取っています。

スモークマン  
No title

グーテンアーベント ^^
なるほど☆
>an+2=4an+1-an
までは考えたのですが...^^;
そこから思考停止となりました...^^;;
これは解きたかったなぁ...無念...Orz

アキチャン  
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こんばんわ。
いい香りなんですよね~♪スイカズラ~♪(*´∀`*)

POPS  
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こんばんは。
この花は何でしょう?
白や黄色の花が沢山付けて綺麗ですね~。
水滴もまた良きアクセントになってますね。
ナイス

ヤドカリ  
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ひとりしずかさん、早速のコメントとナイス!をありがとうございます。
初夏に見るスイカズラは白と黄色で目立ちます。
この色のコントラストが好きです。

ヤドカリ  
No title

ゆうこさん、早速のコメントとナイス!をありがとうございます。
スイカズラの花です。カズラという名前の通り、つる植物です。
野草としては綺麗だと思います。
こちらは今日は夏日、仕事の都合で外を歩いて疲れました。

ヤドカリ  
No title

スモークマンさん、コメントとナイス!をありがとうございます。
小数部分を切り捨ててから和を求めるのと、
和を求めて小数部分を切り捨てるのと、それぞれの小数部分が1に近いので、
項数より1小さい359の差が出ますね。

ヤドカリ  
No title

アキチャンさん、コメントとナイス!をありがとうございます。
スイカズラの花は、野草としては見栄えしますね。
黄色と白の色合いも好きです。

ヤドカリ  
No title

POPSさん、コメントとナイス!をありがとうございます。
スイカズラの花です。わりによく見かけます。
初夏に見る、季節を感じる花の1つです。

ニリンソウ  
No title

スイカズラが白から黄色に
キンギンカと言われる所以ですね。

ナイス

ヤドカリ  
No title

ニリンソウさん、コメントをありがとうございます。
花の色が変化していくとき、普通が見苦しい色になるのに、
スイカズラは綺麗なままなのがいいですね。