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[答1200] 等脚台形の面積

ヤドカリ

ヤドカリ



[答1200] 等脚台形の面積


 AD//BC ,AB=DC である等脚台形ABCDが内接円をもち、対角線の長さが AC=BD=49 で、

 台形ABCDの内接円の半径と外接円の半径の比が 24:35 のとき、台形ABCDの面積は?


[解答]

 内接円の半径を r ,外接円の半径を R ,内接円の中心を I ,外接円の中心を O ,

 AD=2a ,BC=2b ,ADの中点をM,BCの中点をN ,内接円とABの接点をP とします。

 △AIP≡△AIM ,△BIP≡△BIN だから、AP=AM=a ,BP=BN=b で、

 ∠AIP=∠AIM ,∠BIP=∠BIN 、∠AIP=∠MIP/2 ,∠BIP=∠NIP/2 、

 ∠AIP+∠BIP=(∠MIP+∠NIP)/2 ,∠AIB=90゚ となって、I は ABを直径とする円周上にあります。

 よって、方べきの定理より、r2=IP2=AP・BP=ab 、r=√(ab) 、MN=2r=2√(ab) です。

 次に、三平方の定理より OM2=OA2-AM2=R2-a2 、ON2=OB2-BN2=R2-b2

 OM+ON=MN より、OM2+2・OM・ON+ON2=MN2

 2・OM・ON=MN2-OM2-ON2=4ab-R2+a2-R2+b2=a2+b2+4ab-2R2

 4・OM2・ON2=(a2+b2+4ab-2R2)2 、4(R2-a2)(R2-b2)=(a2+b2+4ab-2R2)2

 4R4-4(a2+b2)R2+4a2b2=(a2+b2+4ab)2-4(a2+b2+4ab)R2+4R4

 4(a2+b2+4ab)R2-4(a2+b2)R2=(a2+b2+4ab)2-(2ab)2 、16abR2=(a+b)2(a2+b2+6ab) になり、

 r2:R2=16abr2:16abR2=16a2b2:(a+b)2(a2+b2+6ab) であり、

 AB=a+b=c とすれば、r2:R2=16a2b2:c2(c2+4ab) です。

 16a2b2:c2(c2+4ab)=242:352 だから、242c2(c2+4ab)=352・16a2b2 、62c2(c2+4ab)=352a2b2

 62c4+24ab・6c2-52・72a2b2=0 、(6c2-25ab)(6c2+49)=0 、6c2=25ab 、ab=6c2/25 です。

 また、トレミーの定理により、AC・BD=AB・CD+AD・BC 、492=c2+2a・2b=c2+24c2/25=49c2/25 、

 c2=49・25 であり、r=√(ab)=√(6c2/25)=(√6)c/5 、

 台形ABCD=4△AIM+4△BIN=2ar+2br=2cr=2(√6)c2/5=2(√6)・49・25/5=490√6(≒1200) です。

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Comments 10

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ひとりしずか  
No title

ゲンペイカズラ、白い萼に赤い花、ヒューと伸びたシベ
びっしりの花数……

ほんとはメゾソプラノ  
No title

おはようございます
写真の花はこの前、衝動買いしてしまいました。
小さいですが、赤と白のコントラストが可愛いですね!

スモークマン  
No title

グーテンターク ^^
これも難しかったです...^^;
面積Sを、2S=各辺の和*r*2=√(各辺の積)...(天下りの双対四角形の面積の公式)
余弦定理,トレミー,上底+下底=2*斜辺
の式を立てて,PCで求めるという手段で...^^; Orz~

解答を眺めて...匠の業って凄いなぁ!!と...ただただ感嘆 ^^;☆

POPS  
No title

こんばんは。
この花は何でしょう?
蕾が白くて、花が咲くと赤くなるんですね。
紅白のコラボが綺麗ですね。
ナイス

ヤドカリ  
No title

ひとりしずかさん、早速のコメントとナイス!をありがとうございます。
ゲンペイカズラの紅白の色は目立ちますね。
仰る通り、蕊の長さも特徴がありますね。

ヤドカリ  
No title

ほんとはメゾソプラノさん、早速のコメントとナイス!をありがとうございます。
ゲンペイカズラを衝動買いされたのですか。
その気持ちが分かるような花です。

ヤドカリ  
No title

スモークマンさん、コメントとナイス!をありがとうございます。
この問題も公式だけに頼ろうとすると難しいと思います。
どのようにすれば解けるかをいろいろ考えるのが面白いと思います。

ヤドカリ  
No title

POPSさん、コメントとナイス!をありがとうございます。
この花は、ゲンペイカズラおいいます。
項悪が混じっていると「源平」の名が相応しいですね。

アキチャン  
No title

おはようございます。
ゲンペイカズラ…初見かもしれません。きれいですね。見つけてみたいです(*´∀`*)

ヤドカリ  
No title

アキチャンさん、コメントとナイス!をありがとうございます。
ベンケイカズラの紅白は目立ちます。
自然は綺麗な造形を創り出すものと感心します。