[答1200] 等脚台形の面積
[答1200] 等脚台形の面積
AD//BC ,AB=DC である等脚台形ABCDが内接円をもち、対角線の長さが AC=BD=49 で、
台形ABCDの内接円の半径と外接円の半径の比が 24:35 のとき、台形ABCDの面積は?
[解答]
内接円の半径を r ,外接円の半径を R ,内接円の中心を I ,外接円の中心を O ,
AD=2a ,BC=2b ,ADの中点をM,BCの中点をN ,内接円とABの接点をP とします。
△AIP≡△AIM ,△BIP≡△BIN だから、AP=AM=a ,BP=BN=b で、
∠AIP=∠AIM ,∠BIP=∠BIN 、∠AIP=∠MIP/2 ,∠BIP=∠NIP/2 、
∠AIP+∠BIP=(∠MIP+∠NIP)/2 ,∠AIB=90゚ となって、I は ABを直径とする円周上にあります。
よって、方べきの定理より、r2=IP2=AP・BP=ab 、r=√(ab) 、MN=2r=2√(ab) です。
次に、三平方の定理より OM2=OA2-AM2=R2-a2 、ON2=OB2-BN2=R2-b2 、
OM+ON=MN より、OM2+2・OM・ON+ON2=MN2 、
2・OM・ON=MN2-OM2-ON2=4ab-R2+a2-R2+b2=a2+b2+4ab-2R2 、
4・OM2・ON2=(a2+b2+4ab-2R2)2 、4(R2-a2)(R2-b2)=(a2+b2+4ab-2R2)2 、
4R4-4(a2+b2)R2+4a2b2=(a2+b2+4ab)2-4(a2+b2+4ab)R2+4R4 、
4(a2+b2+4ab)R2-4(a2+b2)R2=(a2+b2+4ab)2-(2ab)2 、16abR2=(a+b)2(a2+b2+6ab) になり、
r2:R2=16abr2:16abR2=16a2b2:(a+b)2(a2+b2+6ab) であり、
AB=a+b=c とすれば、r2:R2=16a2b2:c2(c2+4ab) です。
16a2b2:c2(c2+4ab)=242:352 だから、242c2(c2+4ab)=352・16a2b2 、62c2(c2+4ab)=352a2b2 、
62c4+24ab・6c2-52・72a2b2=0 、(6c2-25ab)(6c2+49)=0 、6c2=25ab 、ab=6c2/25 です。
また、トレミーの定理により、AC・BD=AB・CD+AD・BC 、492=c2+2a・2b=c2+24c2/25=49c2/25 、
c2=49・25 であり、r=√(ab)=√(6c2/25)=(√6)c/5 、
台形ABCD=4△AIM+4△BIN=2ar+2br=2cr=2(√6)c2/5=2(√6)・49・25/5=490√6(≒1200) です。
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