[答1200] 等脚台形の面積

[答1200] 等脚台形の面積


　AD//BC ，AB＝DC である等脚台形ABCDが内接円をもち、対角線の長さが AC＝BD＝49 で、

　台形ABCDの内接円の半径と外接円の半径の比が 24：35 のとき、台形ABCDの面積は？


[解答]

　内接円の半径を r ，外接円の半径を R ，内接円の中心を I ，外接円の中心を O ，

　AD＝2a ，BC＝2b ，ADの中点をM，BCの中点をN ，内接円とABの接点をP とします。

　△AIP≡△AIM ，△BIP≡△BIN だから、AP＝AM＝a ，BP＝BN＝b で、

　∠AIP＝∠AIM ，∠BIP＝∠BIN 、∠AIP＝∠MIP/2 ，∠BIP＝∠NIP/2 、

　∠AIP＋∠BIP＝(∠MIP＋∠NIP)/2 ，∠AIB＝90ﾟ となって、I は ABを直径とする円周上にあります。

　よって、方べきの定理より、r²＝IP²＝AP･BP＝ab 、r＝√(ab) 、MN＝2r＝2√(ab) です。

　次に、三平方の定理より OM²＝OA²－AM²＝R²－a² 、ON²＝OB²－BN²＝R²－b² 、

　OM＋ON＝MN より、OM²＋2･OM･ON＋ON²＝MN² 、

　2･OM･ON＝MN²－OM²－ON²＝4ab－R²＋a²－R²＋b²＝a²＋b²＋4ab－2R² 、

　4･OM²･ON²＝(a²＋b²＋4ab－2R²)² 、4(R²－a²)(R²－b²)＝(a²＋b²＋4ab－2R²)² 、

　4R⁴－4(a²＋b²)R²＋4a²b²＝(a²＋b²＋4ab)²－4(a²＋b²＋4ab)R²＋4R⁴ 、

　4(a²＋b²＋4ab)R²－4(a²＋b²)R²＝(a²＋b²＋4ab)²－(2ab)² 、16abR²＝(a＋b)²(a²＋b²＋6ab) になり、

　r²：R²＝16abr²：16abR²＝16a²b²：(a＋b)²(a²＋b²＋6ab) であり、

　AB＝a＋b＝c とすれば、r²：R²＝16a²b²：c²(c²＋4ab) です。

　16a²b²：c²(c²＋4ab)＝24²：35² だから、24²c²(c²＋4ab)＝35²･16a²b² 、6²c²(c²＋4ab)＝35²a²b² 、

　6²c⁴＋24ab･6c²－5²･7²a²b²＝0 、(6c²－25ab)(6c²＋49)＝0 、6c²＝25ab 、ab＝6c²/25 です。

　また、トレミーの定理により、AC･BD＝AB･CD＋AD･BC 、49²＝c²＋2a･2b＝c²＋24c²/25＝49c²/25 、

　c²＝49･25 であり、r＝√(ab)＝√(6c²/25)＝(√6)c/5 、

　台形ABCD＝4△AIM＋4△BIN＝2ar＋2br＝2cr＝2(√6)c²/5＝2(√6)･49･25/5＝490√6(≒1200) です。

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