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[答1201] 小数点以下の数字の和

ヤドカリ

ヤドカリ


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[答1201] 小数点以下の数字の和


 1/989901 を小数に直したときの、小数第1位から小数第2722桁までの数字の和は?


[解答]

 S=a+2ar+3ar2+4ar3+5ar4+……+(n-2)rn-3+(n-1)rn-2+nrn-1 とおけば、

 rS=ar+2ar2+3ar3+4ar4+5ar5+……+(n-2)rn-2+(n-1)rn-1+nrn

 r2S=ar2+2ar3+3ar4+4ar5+5ar6+……+(n-2)rn-1+(n-1)rn+nrn+1

 S+r2S-2rS=a+(n-1)rn+nrn+1-2nrn 、(1-r)2S=a-(n+1-nr)rn

 ここで、r=10-4,a=101・10-8 とおき、n → ∞ とすれば、

 (1-10-4)2S=101・10-8 、(104-1)2S=101 、

 9999・9999S=101 、99・9999S=1 、S=1/(99・9999)=1/989901 なので、

 1/989901=101・10-8+202・10-12+303・10-16+404・10-20+……

  =0.0000010102020303040405050606070708080909101011111212131314141515…… になり、

 続けていくと 9595,9696,9797,9898,9999 までは4桁ずつ、

 こののあとは、10100,10201,10302,…… と5桁になって繰り上がり、

 循環節は 00000101020203030404050506060707080809091010……9595969697979899 の 396桁です。

 循環節の数字の和は、9899を付け加えれば、400個の数字は 0 から 9 まで 40個ずつですので、

 45・40-(9+8+9+9)=1800-35=1765 です。

 2722=7・396-50 になり、

 循環節の下50桁は 86878788888989909091919292939394949595969697979899 、

 最初2桁、後は4桁ずつ加えて、14+30+32+34+18+20+22+24+26+28+30+32+35=345 、

 従って、2722個の数字の和は 7・1765-345=12010 です。


[参考1]

 循環節が 396桁以上であることは明らかですが、

 P(x)=x198-198x+197 とおけば、P'(x)=198x197-198 、

 P(1)=P'(1)=0 より P(x) は (x-1)2 で割り切れ、

 x=102 とすれば 10396-19800+197 は 992=9801 の倍数であり、

 10396-19800+197=10396-9801-9999+197=10396-9801-9802 より、

 10396-1 は 992 の倍数でです。

 また、Q(x)=x198-1 とおけば、Q(-1)=0 なので Q(x) は (x+1) で割り切れ、

 x=102 とすれば 10396-1 は 101 の倍数です。

 10396-1 は 989901=992・101 の倍数になり、

 1/989901 の循環節が 396桁であることを確かめることができます。


[参考2]

 1/989901=(1/9999)/99=(0.01/9999)/0.99=(0.01/9999)/(1-0.01)

  =0.01/9999+0.0001/9999+0.000001/9999+0.00000001/9999+……

 であり、1/9999=0.00010001000100010001…… なので、

 1/989901
  =0.0000010001000100010001000100010001000100010001000100010001000100……
  +0.0000000100010001000100010001000100010001000100010001000100010001……
  +0.0000000001000100010001000100010001000100010001000100010001000100……
  +0.0000000000010001000100010001000100010001000100010001000100010001……
  +0.0000000000000100010001000100010001000100010001000100010001000100……
  +0.0000000000000001000100010001000100010001000100010001000100010001……
  +0.0000000000000000010001000100010001000100010001000100010001000100……
  +0.0000000000000000000100010001000100010001000100010001000100010001……
  +0.0000000000000000000001000100010001000100010001000100010001000100……
  +0.0000000000000000000000010001000100010001000100010001000100010001……
  +0.0000000000000000000000000100010001000100010001000100010001000100……
  +0.0000000000000000000000000001000100010001000100010001000100010001……
  +…………………………………………………………
  =0.0000010102020303040405050606070708080909101011111212131314141515……

 としても、循環節がどのようになるかが分かります。

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Comments 16

There are no comments yet.
ヤドカリ  
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ブログを再開します。よろしくお付き合い下さい。

アキチャン  
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おはようございます。
ブラシの木、不思議な木の一つで好きです♪
今年はどこのも大きく鮮やかに咲いているように思います(*´∀`*)

ひとりしずか  
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おかえりなさい(^0_0^)

ブラシノキ、色が好いですネ

ほんとはメゾソプラノ  
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おはようございます♪

よろしくお願いします!

樹☆  
No title

おはようございます。
鮮やかに咲いてるブラシノキで
梅雨だと言うことも忘れてしまいます。

それにしても小数点以下の気の遠くなるような数字が
並んでいてきれいだなと感心してみてました。

スモークマン  
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グーテンターク ^^
おかえりなさ~い♪
ルーティンの日常のリズムが崩れるとなんだか寂しく感じてました ^^;

これは...なかなか気づけないなぁ...^^;;
わたしゃとにかく地道に(ミスりながらも)数えましたです Orz~

ゆうこ つれづれ日記  
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よろしくお願いいたします。

ゆうこ つれづれ日記  
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ブラシノキ?
よくブロ友さんのところで見ます。
真っ赤な色とブラシのような花がいいですよね。
ナイス☆

ヤドカリ  
No title

アキチャンさん、早速のコメントとナイス!をありがとうございます。
仰るように、今年は綺麗に咲いていますね。
赤い花が印象的で、名前も覚えやすいですね。

ヤドカリ  
No title

ひとりしずかさん、早速のコメントとナイス!をありがとうございます。
緑の中の赤い花、よく目立ちますね。
色が好いと私も思います。

ヤドカリ  
No title

ほんとはメゾソプラノさん、早速のコメントとナイス!をありがとうございます。
ちょっと用事があって、私は家を離れていました。
自宅のPCの中にデータを入れていますので、お休みしました。

ヤドカリ  
No title

樹ちゃん、早速のコメントとナイス!をありがとうございます。
梅雨前の目立つ花ですよね。
ところで、問題を解いてくれなくても、数字の並びを綺麗に感じて頂ければ嬉しいです。

ヤドカリ  
No title

スモークマンさん、コメントとナイス!をありがとうございます。
ちょっと用事があって、私は家を離れていました。
算チャレも浮浪の館も帰宅後に解きましたが、
今月の問題は忘れていて、先程解きました。

ヤドカリ  
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ゆうこさん、コメントとナイス!をありがとうございます。
仰る通り、ブラシノキです。
名前が覚えやすいし、ピッタリの名前ですね。

ニリンソウ  
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まっかなブラシですね!
触れた事はないのだけど硬さはどんなもんでしょう。

ナイス

ヤドカリ  
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ニリンソウさん、コメントをありがとうございます。
目で楽しむ花ですので、私もあまり触れませんが、
柔らかい花です。