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[答1202] 二等辺三角形の個数

ヤドカリ

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[答1202] 二等辺三角形の個数


 nを3以上の自然数として、正n角形の頂点3個を頂点とする二等辺三角形の個数と

 正(n+1)角形の頂点3個を頂点とする二等辺三角形の個数の差が 1001 であるとき、n=?

 もちろん、正三角形も二等辺三角形として数えるものとします。


[解答]

 正n角形の頂点3個を頂点とする二等辺三角形の個数を T(n) とします。

 正n角形の頂点を1つ選んで、それを二等辺三角形の頂点とすれば、

 nが奇数のとき a=1 ,nが偶数のとき a=2 として、二等辺三角形の個数は (n-a)/2 、

 よって、全体では n(n-a)/2 です。

 ただし、正三角形は3回数えることになりますので、

 nが3の倍数であれば、正三角形が n/3 個あるので、2n/3 を減じることになります。

 nが3の倍数のとき b=1 ,nが3の倍数でないとき b=0 として、

 T(n)=n(n-a)/2-2bn/3=n(3n-3a-4b)/6 になります。

 (n+1)が奇数のとき c=1 ,(n+1)が偶数のとき c=2 、

 (n+1)が3の倍数のとき d=1 ,(n+1)が3の倍数でないとき d=0 として、

 T(n+1)=(n+1)(3n+3-3c-4d)/6 になり、c=3-a なので、

 T(n+1)=(n+1){3n+3-3(3-a)-4d}/6=(n+1)(3n-6+3a-4d)/6 です。

 T(n+1)-T(n)=(n+1)(3n-6+3a-4d)/6-n(3n-3a-4b)/6

  =n(3n-6+3a-4d)/6+(3n-6+3a-4d)/6-n(3n-3a-4b)/6

  =n(-6+6a+4b-4d)/6+(3n-6+3a-4d)/6=n(-3+6a+4b-4d)/6+(-6+3a-4d)/6

  ={(6a+4b-4d-3)n+(3a-4d-6)}/6 です。

 n≡0,1,2,3,4,5 (mod 6) に対して、それぞれ、

 (a,b,d)=(2,1,0),(1,0,0),(2,0,1),(1,1,0),(2,0,0),(1,0,1) 、

 T(n+1)-T(n)=13n/6,(3n-3)/6,(5n-4)/6,(7n-3)/6,9n/6,(-n-7)/6 です。

 13n/6=1001,(3n-3)/6=1001,(5n-4)/6=1001,(7n-3)/6=1001,9n/6=1001,(-n-7)/6=-1001 より

 n=462,n=2003,n=1202,n=6009/7,n=2002/3,n=5999 、

 n≡0,1,2,3,4,5 (mod 6) に適するのは、n=462,1202,5999 です。

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Comments 11

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ひとりしずか  
No title

清々しい風景!
山並みとその山並みが映る田んぼの水鏡

アキチャン  
No title

おはようございます。
なんて清々しい風景なんでしょう!!
飛行機雲でしょうか?(*´∀`*)

ゆうこ つれづれ日記  
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空が青く緑も深まり
田んぼに水が入って
気持ちがいいですね~~~
ずっと眺めていたくなります。
ナイス☆

スモークマン  
No title

グーテンターク ^^
6の倍数で場合分けして、差が条件を満たすものを探しました ^^
but...最初、見損じて抜けがありましたと差 ^^;...Orz~

静謐な/綺麗な景色ですね~うっとり♪

POPS  
No title

こんばんは。
広大な風景が美しく、水田を見ると涼し気でいいですね~。
秋の収穫シーズンが楽しみですね。
ナイス

ヤドカリ  
No title


写真の風景は、
お世話になった方の告別式に参列した
翌朝の散歩のときに見たものです。

ヤドカリ  
No title

ひとりしずかさん、早速のコメントとナイス!をありがとうございました。

ヤドカリ  
No title

アキチャンさん、早速のコメントとナイス!をありがとうございました。

ヤドカリ  
No title

ゆうこさん、早速のコメントとナイス!をありがとうございました。

ヤドカリ  
No title

スモークマンさん、コメントとナイス!をありがとうございました。

ヤドカリ  
No title

POPSさん、コメントとナイス!をありがとうございました。