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[答1203] 自然数の数列

ヤドカリ

ヤドカリ


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[答1203] 自然数の数列


 次のように、1 から始めて、その4倍±1 の2数を求め、

 求められた数に対して その4倍±1 の2数を次々に求めると、

  1 → 3,5 、 3 → 11,13 、5 → 19,21 、

  11 → 43,45 、13 → 51,53 、19 → 75,77 、21 → 83,85 、…… となり、

 最初の 1 と 求められた数を、1,3,5,11,13,19,21,43,45,51,53,75,77,83,85,……

 と、小さい順に並べるとき、50番目の数は? また、50番目までの数の総和は?


[解答]

 1 を第1群の数とし、第k群の数nから得られる 4n-1,4n+1 を第(k+1)群の数 とすれば、

 1 は第1群、3,5 は第2群、11,13,19,21 は第3群、43,45,51,53,75,77,83,85 は第4群です。

 また、要素の個数は 第1群が 1個で、第k群の数1個から第(k+1)群の数2個が得られるので、

 第k群の数は 2k-1 個、第k群までの数は (2k-1)/(2-1)=2k-1 個、

 総和は 第1群が 1 で、第k群の n から 第(k+1)群の (4n-1)+(4n+1)=8n が得られるので、

 第k群の総和は 8k-1 、第k群までの総和は (8k-1)/(8-1)=(8k-1)/7 です。

 k=5 とすれば 第5群までの数は 25-1=31 個、第5群までの総和は (85-1)/7=4681 だから、

 第6群の 19番目の数が 50番目の数です。

 n → 4n-1 の操作を f ,n → 4n+1 の操作を g として、

 例えば、1 に g,f,g,g,f の順に操作を施すと、1 → 5 → 19 → 77 → 309 ですが、

 2進法では、1 → 101 → 10011 → 1001101 → 100110101 です。

 2進法では 末尾に 00 をつけて 1を減じるのが 操作f ,1を加えるのが 操作g だから、

 奇数 □1 は、 操作f で □1 → □100-1=□011 ,操作g で □1 → □100+1=□101 となり、

 末位の 1 の前に、操作f で 01 を、操作g で 10 を挿入することになります。

 従って、1 に g,f,g,g の順に操作すると、10 01 10 10 1 つまり 100110101 になります。

 1 に 操作f,操作g を4回施せば第5群の数になりますが、

 その前に 操作f を1回だけ施せば、第6群の 16番目までの数になります。

 例えば、1 に f,g,f,g,g の順に操作すると、01100110101 になり、

 01100110101-100110101=1000000000 だから、十進法で 29 大きく、

 第5群は 24 個あり、総和は 84=212 だから、

 第6群の 16番目までの数の総和は、212+24・29=212(1+2)=12288 です。

 第6群の 17番目,18番目,19番目の数は、

 1 に g,f,f,f,f の順に操作した 10010101011(2)=2253(8)=1195 、

 1 に g,f,f,f,g の順に操作した 10010101101(2)=2255(8)=1197 、

 1 に g,f,f,g,f の順に操作した 10010110011(2)=2263(8)=1203 で、

 50番目の数は 1203 、50番目までの数の総和は 4681+12288+1195+1197+1203=20564 です。

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Comments 10

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ひとりしずか  
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ネムノキ咲き始めているんですネ
去年の写真を見たら7月10日ころ満開近くなっていて~
大阪と1ヶ月も差があるんですね~

スモークマン  
No title

グーテンターク ^^
いかにも2進法で考えるに違いないと思うもよくわからず...^^;
プリミティヴにそれぞれの段の最初の数からの差の和をしこしこと計算してやっとこさでした...^^;;
わたしにはなかなか厄介でした...Orz~

ニリンソウ  
No title

合歓の木でしょうか!
優しい色合いと風に揺れる風情が好きです。
大きな木は強い陽射しも避けてくれて夏の木ですね。

POPS  
No title

こんばんは。
ネムノキ咲きだしてますね~。
今年はまだ見ていません。
この色合いと形がいいですね。
ナイス

ヤドカリ  
No title

ひとりしずかさん、早速のコメントとナイス!をありがとうございます。
夏までは此方の方が早く季節が進みますが、秋は其方の方が早いです。
季節季節に咲く花が、季節の移ろいを教えてくれるのがいいですね。

ヤドカリ  
No title

スモークマンさん、コメントとナイス!をありがとうございます。
2進法に直すと特徴がありそうですが、
その特徴を見つけると考えやすいです。

ヤドカリ  
No title

ニリンソウさん、コメントをありがとうございます。
この花の優しい色合いがいいですね。
樹は大きくなりますが、写真にするには低いと助かります。

ヤドカリ  
No title

POPSさん、コメントとナイス!をありがとうございます。
梅雨時に鮮やかな色で咲く紫陽花とは対照的だと思います。
仰る通り、色合いも形もいいですね。

アキチャン  
No title

こんばんわ。
まだ見ていまませんが、好きなお花です(*´∀`*)綺麗ですね♪

ヤドカリ  
No title

アキチャンさん、コメントとナイス!をありがとうございます。
合歓の樹の淡い色合いは素敵だと思います。
比較的低い位置で見えたので撮ってみました。