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[答1204] 約数の積

ヤドカリ

ヤドカリ


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[答1204] 約数の積


 mn の正の約数全部の積が m650 である2以上の自然数の組(m,n)のうち、m が最小であるものは?


[解答]

 mn の正の約数の個数を k とすれば、正の約数全部の積は (mn)k/2=m650

 nk/2=650 、nk=1300=22・52・13 です。

 また、m0,m1,m2,……,mn は mn の約数だから k≧n+1 です。

 更に、n が 素数pの倍数であれば、mn の素因数分解において、どの素数の指数も pの倍数であり、

 k≡1 (mod p) になります。

 よって、n が 2の倍数であれば、k≡1 (mod 2) 、n は 22 の倍数であり、

 n が 5の倍数であれば、k≡1 (mod 5) 、n は 52 の倍数ですので、

 (n,k)=(1,1300),(4,325),(13,100),(25,52) に絞られますが、

 100≡1 (mod 13) や 52≡1 (mod 5) は成り立ちませんので、(13,100),(25,52) は適しません。

 m1 の約数が 1300個のとき、最小の m は、m1=212・34・54・7・11 、

 m4 の約数が 325個のとき、最小の m は、m4=212・34・54 、m=23・3・5 、

 よって、(m,n)=(120,4) です。

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Comments 14

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アキチャン  
No title

おはようございます。
久し振りの一番ですが、名前をわすれたので、名前の出た頃(笑)また伺います(*´∀`*)

スモークマン  
No title

グーテンモルゲン ^^
なるほどねぇ☆
非効率に探してましたが...
m=2^6*3^3=1728 は条件満たしてないかしらん? ^^;
ま、最小ではないけど...^^;; Orz~

ひとりしずか  
No title

花が整列しひゅーと伸びた姿が魅力です!

ゆうこ つれづれ日記  
No title

オカトラノオ、大好きなお花です。
庭のオカトラノオはまだ蕾も出ていないです。
ナイス☆

POPS  
No title

こんばんは。
この花何でしたって?
見かけるのですが、名前が出て来ません💦
間もなく見頃になりそうですね。
ナイス

ヤドカリ  
No title

アキチャンさん、早速のコメントをありがとうございます。
オカトラノオです。小さい花がたくさん集まって、次々と咲きます。
初夏以降の緑の中には白い花が多いですね。

ヤドカリ  
No title

スモークマンさん、早速のコメントとナイス!をありがとうございます。
そのmの値に対してnの値は何でしょうか?
それを考えれば分かるはずです。

ヤドカリ  
No title

ひとりしずかさん、早速のコメントとナイス!をありがとうございます。
オカトラノオも面白い花ですね。
穂の先に向かって、花が移動していくような感じですね。

ヤドカリ  
No title

ゆうこさん、コメントとナイス!をありがとうございます。
野草とはいえ、形が整い、綺麗な花だと思います。
流石に北海道ではまだなのですね。

ヤドカリ  
No title

POPSさん、コメントとナイス!をありがとうございます。
オカトラノオです。そちらでも咲いているのですね。
これからどんどん見頃になっていくのでしょう。

ニリンソウ  
No title

頭を垂れたオカトラノオ、小花の集合ですね。
尾っぽのようにみえる事からの命名かな?
早いですね~
こちらまだまだでした。

ヤドカリ  
No title

ニリンソウさん、コメントとナイス!をありがとうございます。
夏までは、当方は新潟より季節が進んでいて、先取りしています。
ところで、トタノオはやはり尻尾を連想した名前でしょうか。
ハナトラノオは感じが違いますけど。

スモークマン  
No title

グーテンアーベント ^^
2^6*3^3
n(6n+1)(3n+1)=1300
n=4
で成立してますよね...?...^^;
Minではなかったわけですけど...Orz...

ヤドカリ  
No title

スモークマンさん、コメントをありがとうございます。
「m^4 の約数が 325個」の条件に適合していますので、条件を満たします。
ただ、325=25・13 と考えるより、13・5・5 と考える方が小さい値になります。