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[答1205] 内心と頂点の距離

ヤドカリ

ヤドカリ


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[答1205] 内心と頂点の距離


 △ABCの内心を I とし、内接円の半径を r とします。

 IA=77,IB=42,IC=33 のとき、BC+CA+AB=? また、r=?


[解答]

 BC=a ,CA=b ,AB=c ,IA=d,IB=e,IC=f とします。

 また、∠A の二等分線とBCの交点を Dとすれば、BD:DC=BA:AC=c:b だから、

 BD=BC・c/(b+c)=ac/(b+c) ,DC=BC・b/(b+c)=ab/(b+c) です。

 AD=√(AB・AC-BD・CD)=√{cb-a2cb/(b+c)2}=√〔bc{1-a2/(b+c)2}〕 、

 (b+c)AD=√〔bc{(b+c)2-a2}〕=√{bc(b+c-a)(b+c+a)} になり、

 IA:ID=(△IAC+△IAB):△IBC=(AC+AB):BC=(b+c):a だから、

 d=IA={(b+c)/(a+b+c)}AD=√{bc(b+c-a)/(a+b+c)} 、d2=bc(b+c-a)/(a+b+c) です。

 ここで、簡単のため、a+b+c=s ,abc/(a+b+c)=t とすれば、

 d2=t(s-2a)/a=t(s/a-2) になり、d2/t=s/a-2 、s/a=(2t+d2)/t 、

 a/s=t/(2t+d2) であり、同様に、b/s=t/(2t+e2) ,c/s=t/(2t+f2) です。

 (a+b+c)/s=t/(2t+d2)+t/(2t+e2)+t/(2t+f2) で、左辺は 1 なので分母を払えば、

 (2t+d2)(2t+e2)(2t+f2)=t(2t+e2)(2t+f2)+t(2t+f2)(2t+d2)+t(2t+d2)(2t+e2) 、

 8t3+4t2(d2+e2+f2)+2t(e2f2+f2N+Ne2)+d2e2f2=12t3+4t2(d2+e2+f2)+t(e2f2+f2N+Ne2) 、

 4t3-(e2f2+f2d2+d2e2)t-d2e2f2=0 になります。

 これ以上は簡単にならないので、d=77 ,e=42 ,f=33 として、

 4t3-(422・332+332・772+772・422)t-772・422・332=0 、

 4(t/231)3-(62+112+142)(t/231)-2・14・33=0 、

 4(t/231)3-353(t/231)-2・14・33=0 、(2t/231)3-353(2t/231)-2・2・14・33=0 、

 (2t/231-21){(2t/231)2+21(2t/231)+88}=0 、2t/231=21 、2t=21・231 です。

 a/s=t/(2t+d2) ,b/s=t/(2t+e2) ,c/s=t/(2t+f2) ですので、

 a:b:c=1/(21・231+772):1/(21・231+422):1/(21・231+332)

  =1/(77・140):1/(21・21・15):1/(33・180)=27:44:49 になり、

 a=27k ,b=44k ,c=49k とおけば、a+b+c=27k+44k+49k=120k 、

 abc/(a+b+c)=t より、27k・44k・49k/120k=21・231/2 、k2=21・231・60/(27・44・49)=5 、

 k=√5 、a+b+c=120k=120√5 です。

 また、(a+b+c)/2=60k なので、内接円の半径は、

 r=√{(60k-a)(60k-b)(60k-c)/(60k)}=√{(60k-27k)(60k-44k)(60k-49k)/(60k)}

  =k√(33・16・11/60)=√(5・33・16・11/60)=22 です。

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Comments 15

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ひとりしずか  
No title

ナガバミズアオイ(ポンテデリア)―ホテイアオイの仲間なんですネ
淡い色がやさしく涼しげ~
バックは池?

ひとりしずか  
No title

ホソバナガミズアオイのほうかな?

ゆうこ つれづれ日記  
No title

こんにちは~
地震、大丈夫でしたか?
直下型ですものね。
恐ろし方と思います。
余震に気を付けてください。

スモークマン  
No title

グーテンターク ^^
問題はシンプルでも...
わたしには無理な計算あるぅ...^^;
PCにさせて求めました ^^;;...Orz...

ヤドカリ  
No title

ひとりしずかさん、早速のコメントとナイス!をありがとうございます。
仰る通り、ポンテデリアです。
水辺に咲く花は蒸し暑い時も涼しげです。

ヤドカリ  
No title

ゆうこさん、コメントとナイス!をありがとうございます。
ご心配頂き、恐縮です。地震でしたが何事もありませんでした。
離れて暮らしている家族も無事でした。
当方は大阪府南部ですので、揺れは阪神淡路大震災と同じようなものでした。
ところで、東日本大震災をきっかけに開発されたラインは便利です。

ヤドカリ  
No title

スモークマンさん、コメントとナイス!をありがとうございます。
私は、長文の問題は好みませんので、だいたいこの程度です。
誤解の恐れがあるときや、例を入れないと分かりにくい場合は長くなりますが。

POPS  
No title

こんばんは。
この花は何でしょう?
見た事がありません。
色合い的にも梅雨時期に合いそうな花ですね。
地震大丈夫でしたか?
昨日は群馬を震源とする大き目の地震があった後なので、心配です。
ナイス

ニリンソウ  
No title

> ヤドカリさん、通勤時の地震に驚かれたでしょう。
↑のコメントでご家族も大丈夫との事。
ポンテデリア、園芸種ですか

ヤドカリ  
No title

POPSさん、コメントとナイス!をありがとうございます。
この花はポンテデリアという、水辺の花です。
ところで、地震は大阪北部でしたので、こちらは揺れただけでした。
かなりの揺れでしたが。

ヤドカリ  
No title

ニリンソウさん、コメントをありがとうございます。
実は昨日の仕事の代休で、今日は休みでしたので、
通勤には関係なかったのですが、電車が動かないので、
楽しみにしていた舞洲ゆり園へ行きそびれてしまいました。

樹☆  
No title

こんばんは
今日は大変な一日でしたね。でも
ご家族の方もご無事でよかったです。
余震には気をつけてくださいね。
ポンテデリア・・ホテイアオイのような色で
涼しげですね。。

ヤドカリ  
No title

樹ちゃん、コメントとナイス!をありがとうございます。
小さい余震が続いているようですが、感じませんでした。
ただ、ここ1週間ほど、不安は続きます。

アキチャン  
No title

こんにちわ。
ポンテデリア・と言うのですね。初めてのような気がします。
ホテイアオイも好きなお花ですが、色合いが同じですね(*´∀`*)

ヤドカリ  
No title

アキチャンさん、コメントとナイス!をありがとうございます。
水辺に咲く綺麗な花だと思います。
後ろに黄色のアサザも写っています。