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[答1207] 傍接円の半径の和

ヤドカリ

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[答1207] 傍接円の半径の和


 cosB=-2/7 ,cosC=2/3 ,外接円の半径が 4 である △ABCについて、3個の傍接円の半径の和は?


[解答1]

 sinB=√(1-cos2B)=√(1-4/49)=(3√5)/7 、sinC=√(1-cos2C)=√(1-4/9)=(√5)/3 、

 sinA=sin(π-A)=sin(B+C)=sinBcosC+cosBsinC=(6√5)/21-(2√5)/21=(4√5)/21 、

 BC:CA:AB=sinA:sinB:sinC=(4√5)/21:(3√5)/7:(√5)/3=4:9:7 になり、

 BC=4k ,CA=9k ,AB=7k とおくことができ、

 BC=2RsinA より、4k=2・4・(4√5)/21 、k=(8√5)/21 、(√5)k=40/21 です。

 辺BC,辺CA,辺ABに接する傍接円の半径をそれぞれ rA ,rB ,rC とし、

 △ABCの外接円の半径を R ,面積を S とします。

 辺BCに接する傍接円の中心を P とすれば、S=△PCA+△PAB-△PBC より、

 2S=2△PCA+2△PAB-2△PBC=CA・rA+AB・rA-BC・rA ですので、

 rA=2S/(CA+AB-BC) になり、同様に、rB=2S/(AB+BC-CA) ,rC=2S/(BC+CA-AB) です。

 2S=BC・CA・sinC=4k・9k・(√5)/3=12(√5)k2=12(40/21)k=160k/7 、

 rA+rB+rC=(160k/7)/(9k+7k-4k)+(160k/7)/(7k+4k-9k)+(160k/7)/(4k+9k-7k)

  =40/21+80/7+80/21=360/21=120/7 です。


[解答2]

 sinB=√(1-cos2B)=√(1-4/49)=(3√5)/7 、sinC=√(1-cos2C)=√(1-4/9)=(√5)/3 、

 cosA=-cos(π-A)=-cos(B+C)=-cosBcosC+sinBsinC=4/21+15/21=19/21 です。

 辺BC,辺CA,辺ABに接する傍接円の半径をそれぞれ rA ,rB ,rC とし、

 △ABCの外接円の半径を R ,面積を S とします。

 辺BCに接する傍接円の中心を P とすれば、S=△PCA+△PAB-△PBC より、

 2S=2△PCA+2△PAB-2△PBC=CA・rA+AB・rA-BC・rA ですので、

 rA=2S/(CA+AB-BC) になり、同様に、rB=2S/(AB+BC-CA) ,rC=2S/(BC+CA-AB) です。

 rB+rC=2S/(AB+BC-CA)+2S/(BC+CA-AB)=2S{1/(AB+BC-CA)+1/(BC+CA-AB)}

  =2S{(BC+CA-AB)+(AB+BC-CA)}/{(AB+BC-CA)(BC+CA-AB)}

  =2S・2BC/{BC2-(CA-AB)2}=2BC・2S/(CA2+AB2-2・CA・AB・cosA-CA2+2・CA・AB-AB2)

  =(2BC・CA・AB・sinA)/{2・CA・AB・(1-cosA)}=(BC・sinA)/(1-cosA)

  =(BC・sinA)(1+cosA)/{(1-cosA)(1+cosA)}=BC(1+cosA)/sinA=2R(1+cosA) になり、

 (rB+rC)/2=R(1+cosA) 、同様に、(rC+rA)/2=R(1+cosB) ,(rA+rB)/2=R(1+cosC) です。

 辺々加えて、rA+rB+rC=R(3+cosA+cosB+cosC) になります。

 本問では、R=4 ,cosA=19/21 ,cosB=-2/7 ,cosC=2/3 ですので、

 rA+rB+rC=4(3+19/21-2/7+2/3)=4(63+19-6+14)/21=4・90/21=120/7 です。


[解答3]

 https://okayadokary.blog.fc2.com/blog-entry-559.html の(7)より、

 外接円の半径を R ,内接円の半径を r とすれば、3個の傍接円の半径の和は 4R+r です。

 cosB=-2/7 ,cosC=2/3 より sinB=(3√5)/7 ,sinC=(√5)/3 ,

 sinA=sin(B+C)=sinBcosC+cosBsinC=(4√5)/21 です。

 三角形の面積は 2R2sinAsinBsinC=(BC+CA+AB)r/2 だから、

 2R2sinAsinBsinC=(2RsinA+2RsinB+2RsinC)r/2 、2RsinAsinBsinC=(sinA+sinB+sinC)r 、

 r=2RsinAsinBsinC/(sinA+sinB+sinC)=2・4・(60√5)/441/{(20√5)/21}=8/7 、 

 4R+r=4・4+8/7=120/7 です。

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Comments 9

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ひとりしずか  
No title

花びらの外側のスジはタカサゴユリのような~
芯の濃い黄色があって、見たことのない花色……
好い色合い

ニリンソウ  
No title

百合の季節ですね。
あちこちのお宅でオレンジや赤のユリをよく見ます。
山百合の蕾も膨らんで来ていましたよ。

ナイス

スモークマン  
No title

グーテンアーベント ^^
貴殿の記事のおかげで解くことができました ^^;♪
PCの充電切れる寸前...^^;; Orz~

ヤドカリ  
No title


写真の花は リーガルリリーという、
四川省原産の百合です。
欧米ではよく庭に植えられるそうです。

ヤドカリ  
No title

ひとりしずかさん、早速のコメントとナイス!をありがとうございます。
上に記しましたように、リーガルリリーです。
百合の季節がやってきて、綺麗な百合を当分見られそうです。

ヤドカリ  
No title

ニリンソウさん、早速のコメントとナイス!をありがとうございます。
黄色やオレンジや赤のユリもよく見ますが、私は白いユリが好きです。
山ではササユリですか。そちらのヒメサユリも素敵です。

ヤドカリ  
No title

スモークマンさん、コメントをありがとうございます。
古い記事をよく覚えてくれていたものです。
貴殿の記憶力には、驚愕しています。

POPS  
No title

こんばんは。
お~ユリの花が見頃で綺麗ですね~、。
ユリも早咲きと遅咲きがあるので長く楽しめますね。
ナイス

ヤドカリ  
No title

POPSさん、コメントとナイス!をありがとうございます。
梅雨前から咲くユリもあれば、お盆のころまで咲くユリもあり、
仰る通り、長く楽しめる花ですね。