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[答1210] 正の約数の個数と総和

ヤドカリ

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[答1210] 正の約数の個数と総和


 自然数Nの 正の約数の個数が 12 ,その総和が 2394 のとき、N=?


[解答]

 n を自然数、p,q,r を相異なる素数とし、n の正の約数の総和を S(n) で表すことにします。

 また、合同式は mod 4 を表すものとします。

 S(2n)≡3 であり、p≡1 のときは S(pn)≡n+1 であり、

 p≡3 のときは n が奇数のとき S(pn)≡0 ,n が偶数のとき S(pn)≡1 です。

 約数の個数が 12=22・3 なので、N=p11 ,N=p5q ,N=p3q2 ,N=p2qr の形で表されます。

 また、S(N)=2394=2・32・7・19 ですので、S(N)≡2 です。

 N=p11 の形で表されるとき、S(N)=S(p11)≡3,0 なので適しません。

 N=p5q の形で表されるとき、S(N)=S(p5)S(q) です。

  p=2 のとき S(N)=S(25)S(q) 、2・32・7・19=63(1+q) 、q=37 、N=25・37=1184 です。

  p=3 のとき S(N)=S(35)S(q)≡0 なので適しません。

  p≧5 のとき S(N)>S(p5)>55=3125>2394 で適しません。

 N=p3q2 の形で表されるとき、S(N)=S(p3)S(q2) です。

  p=2 のとき S(N)=S(23)S(q2)=15・S(q2)=2・32・7・19 にはなりません。

  p が奇数のとき S(N)=S(p3)S(q2)≡0 なので適しません。

 N=p2qr の形で表されるとき、S(N)=S(p2)S(q)S(r)=(1+p+p2)(1+q)(1+r) です。

  q,r がともに奇数であれば、S(N)≡0 で適しませんので、何れかは 2 です。

  r=2 として、N=2p2q ,S(N)=3(1+p+p2)(1+q) ですので、(1+p+p2)(1+q)=2・3・7・19 、

  p,q が 奇素数であり、1+3+32=13 ,1+5+52=31 はいずれも 2・3・7・19 の約数でないので、

  p≧7 、1+p+p2≧1+7+72=57 、よって、2・3・7・19/57≧1+q≧1+3 、14≧1+q≧4 です。

  また、1+q は偶数ですので、(1+p+p2,1+q)=(133,6),(57,14) 、

  (p,q)=(11,5),(7,13) 、N=2・112・5,2・72・13=1210,1274 です。

 まとめると、N=1184,1210,1274 です。


[参考]

 (1184,1210)は パガニーニが 1866年(1860年?)に発見した 友愛数です。

 詳しくは、 https://okayadokary.blog.fc2.com/blog-entry-3302.html をご覧ください。

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Comments 10

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ひとりしずか  
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清楚ですね~

アキチャン  
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こんにちわ。
何ゆりでしょうか?
道路沿いにとてもたわわに咲いているのを見ましたが、贅沢な気がしました(*´∀`*)

ヤドカリ  
No title

ひとりしずかさん、早速のコメントとナイス!をありがとうございます。
インドハマユウの白い花が咲く時期になってきました。
後方にヒメジオンの白い花もたくさん咲いていました。

ヤドカリ  
No title

アキチャンさん、コメントとナイス!をありがとうございます。
ユリでなく、インドハマユウです。
仰るように、道端でもよく咲いている花です。

ニリンソウ  
No title

インドハマユウ見かけるようになってきました。
大きな株だから空地や畑で見ます。

POPS  
No title

こんばんは。
ハマユウでしょうか?
テッポウユリにも似ているので、間違えてしまいそうですが、白い花は清涼感があっていいですね~。
ナイス

スモークマン  
No title

グーテンアーベント ^^
同様に考えました ^^v
友愛数で条件を満たすものがあれば、当然ながら、もう一方も満たすわけですね ☆
友愛数は馴染みがないので...全く気付きませんでした...^^;;...Orz~

ヤドカリ  
No title

ニリンソウさん、コメントをありがとうございます。
私も散歩をしていて、何ヶ所かで見ます。
これが咲くと、夏の訪れを感じます。

ヤドカリ  
No title

POPSさん、コメントとナイス!をありがとうございます。
ユリにも似ていますが、インドハマユウです。
清涼感のある白い花です。

ヤドカリ  
No title

スモークマンさん、コメントをありがとうございます。
約数の個数は同じとは限りませんが、和は等しくなります。
S(a)=S(b)=a+b が成り立つ2数ですね。