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[答1211] 垂心と頂点の距離と辺の比

ヤドカリ

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[答1211] 垂心と頂点の距離と辺の比


 △ABCの垂心を H として、HA=50,HB=1,HC=22 で △ABCが鋭角三角形のとき、BC:CA:AB=?

 なお、図は正確ではありません。


[解答1]

 BC=a,CA=b,AB=c,HA=p,HB=q,HC=r とします。

 AからBCに垂線ADを描けば、AD2=AC2-CD2=AB2-BD2 より BD2-CD2=AB2-AC2

 (BD+CD)(BD-CD)=c2-b2 、BC(BD-CD)=c2-b2 、また、BC2=BC(BD+CD)=a2

 よって、2BC・BD=a2+c2-b2 、2aBD=a2+c2-b2 です。

 同様に、2aBD=a2+q2-r2 ですので、

 a2+c2-b2=a2+q2-r2 、b2+q2=c2+r2 になり、

 同様に、a2+p2=b2+q2=c2+r2 になり、

 a2-q2-r2=b2-r2-p2=c2-p2-q2=x とおけます。

 一般に、3辺が a,b,c である三角形の面積を S ,(a+b+c)/2=s とすれば、

 S2=s(s-a)(s-b)(s-c) だから、

 16S2=2s(2s-2a)(2s-2b)(2s-2c)=(a+b+c)(-a+b+c)(a-b+c)(a+b-c)

  ={(b+c)2-a2}{a2-(b-c)2}=(2bc+b2+c2-a2)(2bc-b2-c2+a2)

  =4b2c2-(b2+c2-a2)2 であることに留意すれば、

 16(△HAB)2=4p2q2-(p2+q2-c2)2=4p2q2-x2

 16(△HAC)2=4p2r2-(p2+r2-b2)2=4p2r2-x2 です。

 2△HAB+2△HAC=ap なので、4△HAC=2ap-4△HAB 、

 16(△HAC)2=4a2p2-16ap△HAB+16(△HAB)2 、4p2r2-x2=4a2p2-16ap△HAB+4p2q2-x2

 16ap△HAB=4a2p2+4p2q2-4p2r2 、4a△HAB=p(a2+q2-r2)=p(x+2q2) 、

 16a2(△HAB)2=p2(x+2q2)2 、a2(4p2q2-x2)=p2(x+2q2)2 、(x+q2+r2)(4p2q2-x2)=p2(x+2q2)2

 4p2q2x+4p2q4+4p2q2r2-x3-q2x2-r2x2=p2x2+4p2q2x+4p2q4

 x3+(p2+q2x2+r2)x2-4p2q2r2=0 です。

 本問では、p=50,q=1,r=22 ですので、

 x3+2985x2-4840000=0 、(x-40)(x2+3025x+121000)=0 、

 ここで、△ABCが鋭角三角形ですので、AB>AD>AH になり、c>50 、

 x=c2-502-12>-1 、x+1>0 ですので、

 x2+3025x+121000=(x+1)2+3023(x+1)+117976>0 になり、

 (x-40)(x2+3025x+121000)=0 の解は x=40 だけであることが分かります。

 a2-12-222=b2-222-502=c2-502-12=40 、a2=525 ,b2=3024 ,c2=2541 、

 a=5√21 ,b=12√21 ,c=11√21 、BC:CA:AB=a:b:c=5:12:11 です。


[解答2]

 Aを通るBCに平行な直線,Aを通るCAに平行な直線,Cを通るABに平行な直線で、

 図のように △DEFを作ると、Hは△DEFの外心になり、この外接円の半径をRとします。

 △HAE,△HAF,△HBF,△HBD,△HCD,△HCE を集めて、

 半径がRの半円に内接する四角形KLMNを作れば、トレミーの定理より、

 KM・LN=MN・KL+KN・LM=2・2R+100・44 、KM2・LN2=(2・2R+100・44)2

 (4R2-442)(4R2-1002)=(2・2R+100・44)2 、(R2-222)(R2-502)=(R+100・11)2

 R4-(222+502)R2+11002=R2+2200R+11002 、R4-2985R2-2200R=0 、

 R(R-55)(R2+55R+40)=0 、R>0 より、R=55 です。

 BC2:CA2:AB2=(R2-502):(R2-12):(R2-222)=(552-502):(552-12):(552-222)

  =105・5:56・54:77・33=5・5:8・18:11・11=52:122:112

 BC:CA:AB=5:12:11 です。


[解答3]

 Aを通るBCに平行な直線,Aを通るCAに平行な直線,Cを通るABに平行な直線で、

 図のように △DEFを作ると、Hは△DEFの外心になり、この外接円の半径をRとします。

 ∠AHE=∠AHF=α ,∠BHF=∠BHD=β ,∠CHD=∠CHE=γ とすれば、

 cosα=50/R ,cosβ=1/R ,cosγ=22/R で、

 α+β+γ=π だから、cos2α+cos2β+cos2γ+2cosαcosβcosγ=1 が成り立ち、

 2500/R2+1/R2+484/R2+1100/R2=1 、R3-2985R-2200=0 、

 (R-55)(R2+55R+40)=0 、R>0 より、R=55 です。

 BC2:CA2:AB2=(R2-502):(R2-12):(R2-222)=(552-502):(552-12):(552-222)

  =105・5:56・54:77・33=5・5:8・18:11・11=52:122:112

 BC:CA:AB=5:12:11 です。

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Comments 12

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ひとりしずか  
No title

ムラサキシキブの花、小さくて~優しい色
その割にシベが長く花びらより目立ち……

スモークマン  
No title

グーテンターク ^^
難しいですねぇ ^^;
わたしはどうやったのか思い出せないも...
式作って、PCに解いてもらったことは確かだす ^^;...Orz~

樹☆  
No title

こんにちは
今日は暑い一日でした。
コムラサキでしょうか?
ピンクのお花が可愛いですね。

ニリンソウ  
No title

梅雨明けして暑い夏が始まります。
これはムラサキシキブかな、コムラサキかな。

POPS  
No title

こんばんは。
これは何の花でしょうか?
夏に咲く花も色々とあり、暑さの中で咲くので花持ちがいいのが多いですね。
ナイス

アキチャン  
No title

こんばんは
最近 家のコムラサキシキブがとても大きくなりお花が咲き始めた頃から何度も写真に撮ってます。いつかご披露できるかしら?☺

ヤドカリ  
No title

ひとりしずかさん、早速のコメントとナイス!をありがとうございます。
コムラサキシキブの紫色の花もいいですね。
実よりもすこし紫色が薄いですが、それはそれでいいと思います。

ヤドカリ  
No title

スモークマンさん、コメントとナイス!をありがとうございます。
計算はかなり面倒ですが、見当をつければ3次方程式も解けます。
工夫と計算力は必要です。

ヤドカリ  
No title

樹ちゃん、コメントとナイス!をありがとうございます。
仰るようにコムラサキシキブの花です。
薄紫でしたが、光の加減でピンクに近い色になりました。

ヤドカリ  
No title

ニリンソウさん、コメントとナイス!をありがとうございます。
仰るようにコムラサキシキブの花です。
梅雨明けかも知れませんが、当方は湿度が高く蒸し暑いです。

ヤドカリ  
No title

POPSさん、コメントとナイス!をありがとうございます。
コムラサキシキブの花です。
秋になると濃い紫色の実が目立ちます。

ヤドカリ  
No title

アキチャンさん、コメントとナイス!をありがとうございます。
何度も写真に撮られているのなら、写真を並べると変化が分かりますね。
私は、花の時期と実の時期しか見ていません。