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[答1212] 最小値

ヤドカリ

ヤドカリ


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[答1212] 最小値


 実数 x,y,z が x+y+z=1 を満たすとき 1/2x+1/4y+1/16z の最小値は?

 また、そのときの x,y,z の値は?


[解答1]

 2-x-2 ,2-x-2 ,2-x-2 ,2-x-2 ,2-2y-1 ,2-2y-1 ,2-4z
 で、相加・相乗平均の関係により、

 (1/2x+1/4y+1/16z)/7≧7√(2-4x-4y-4z-10) 、1/2x+1/4y+1/16z≧7・2(-4x-4y-4z-10)/7

 等号が成り立つのは、-x-2=-2y-1=-4z 、すなわち、x=4z-2 ,y=2z-1/2 のときです。

 x+y+z=1 なので、1/2x+1/4y+1/16z≧7・2-2

 等号が成り立つのは、x=4z-2 ,y=2z-1/2 より 4z-2+2z-1/2+z=1 のときだから、

 最小値は 7/4 、x=0 ,y=1/2 ,z=1/2 のときです。


[解答2]

 x+y+z=1 より -x=y+z-1 、

 1/2x+1/4y+1/16z=2-x+2-2y+2-4z=2y+z-1+2-2y+2-4z

 f(y,z)=2y+z-1+2-2y+2-4z
とおけば、

 fy(y,z)=2y+z-1・log2-2・2-2y・log2=2-2y+1(23y+z-2-1)・log2 、

 fz(y,z)=2y+z-1・log2-4・2-4z・log2=2-4z+2(2y+5z-3-1)・log2 、


 よって、3y+z-2=0 かつ y+5z-3=0 のとき、すなわち、y=z=1/2 のとき f(y,z)は最小、

 最小値は、f(1/2,1/2)=20+2-1+2-2=7/4 です。

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Comments 10

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ひとりしずか  
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双子みたいに仲良く並んで

ニリンソウ  
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ジャコウソウかな!
滅多に会いませんが会いたい花です。

少しお休みですね、孫の夏休みも来週からです。

ゆうこ つれづれ日記  
No title

イワブクロ?
違うかしら~~~

今日は35℃以上の猛暑日なのではないですか?
息をするのも大変そうです。
お体に気を付けて過ごしてください。

スモークマン  
No title

グーテンアーベント ^^
よくわからないまま考えていきましたが...
x,y,zのいずれかが負でも2^x,,4^y,16^zは正になるのでした...so...
相加相乗だけで言えるのでしたか ^^;☆

梅雨明け後にたまらない猛暑が待ち構えてます...
ご自愛くださいまっせ~m(_ _)m~

樹☆  
No title

こんばんは
今日はとても暑かったですね。
ホタルブクロでしょうか。。このお花の中に
ホタル入れたら光ってきれいでしょうね。。

ヤドカリ  
No title

ひとりしずかさん、早速のコメントとナイス!をありがとうございます。
仰るように、2個ずつ咲いている姿が多いです。
ジャコウソウの花もなかなか可愛いものです。

ヤドカリ  
No title

ニリンソウさん、早速のコメントをありがとうございます。
仰る通り、ジャコウソウです。
夏休みも近いですが、猛暑には体力消耗します。

ヤドカリ  
No title

ゆうこさん、早速のコメントとナイス!をありがとうございます。
写真の花はジャコウソウです。
こちらは、最高気温が36℃以上の日が続いています。
昼の暑さとともに熱帯夜が続くと辛いです。

ヤドカリ  
No title

スモークマンさん、コメントとナイス!をありがとうございます。
正の数は何乗しても正の数ですね。相加・相乗平均の出番です。
梅雨明け後は猛暑というより酷暑です。

ヤドカリ  
No title

スモークマンさん、コメントとナイス!をありがとうございます。
正の数は何乗しても正の数ですね。相加・相乗平均の出番です。
梅雨明け後は猛暑というより酷暑です。