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[答1214] 面積の差の最小値

ヤドカリ

ヤドカリ



[答1214] 面積の差の最小値


 図のように、3辺の長さが 3√14 ,4√2 ,x の三角形の各辺を1辺とする正方形を外側に描き、

 正方形の頂点を結んで3個の三角形を作ります。

 3つの正方形の面積の和を S ,4つの三角形の面積の和を T として、

 S-T が最小になるときの x の値は?


[解答]

 長さが 3√14 ,4√2 の辺の間の角をθとします。

 2辺の長さが等しく、間の角の和が 180゚ である2つの三角形の面積は等しいので、

 4つの三角形の面積はすべて等しく、T=4・(1/2)(3√14)(4√2)sinθ=(48√7)sinθ になり、

 余弦定理より、x2=(3√14)2+(4√2)2-2(3√14)(4√2)cosθ=158-(48√7)cosθ 、

 S=(3√14)2+(4√2)2+x2=(3√14)2+(4√2)2+158-(48√2)cosθ=316-(48√7)cosθ 、

 S-T=316-(48√2)cosθ-(48√2)sinθ=316-96(cosθcos45゚+sinθsin45゚)=316-96cos(θ-45゚) 、

 よって、θ=45゚ のときの S-T=316 が最小で、

 このとき、x2=158-(48√7)cos45゚=158-24√14=2(79-12√14)=2(79-2√504) 、

 x=(√2)(√72-√7)=12-√14 です。

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Comments 9

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ひとりしずか  
No title

花びらの色がきれい!
芯の赤でひきたって~

ひとりしずか  
No title

ハマボウかしら……

スモークマン  
No title

グーテンターク ^^
同じでした♪
二重根号の外し方は難しい...^^;
あっても良さそうな問題なのに初見でした☆

ニリンソウ  
No title

この花ですがー新潟では見れない(ハマボウ」かな
初めて見せてもらったのも数年前...
あれから忘れない花です。

ナイス

POPS  
No title

こんばんは。
この花はムクゲでしょうか?
クリーム色の花ビラが綺麗で、厳しい暑さの中でも逞しく咲いてますね。
ナイス

ヤドカリ  
No title

ひとりしずかさん、早速のコメントとナイス!をありがとうございます。
よく分かりましたね。仰る通り、ハマボウです。
西日本から奄美にかけて見られる花ですので、馴染みがないと思います。

ヤドカリ  
No title

スモークマンさん、コメントとナイス!をありがとうございます。
45゚のときに最小になると気づき、作問しました。
確かに二重根号は外しにくいですね。

ヤドカリ  
No title

ニリンソウさん、コメントをありがとうございます。
本来は、西日本から奄美にかけて海岸で咲く花です。
忘れられない花ですか。綺麗な黄色で、オクラや綿花にも似ていますね。

ヤドカリ  
No title

POPSさん、コメントとナイス!をありがとうございます。
この花はハマボウといって、東日本には分布していないそうです。
私の好きな花のひとつです。