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[答1216] 頂点から対辺への垂線で折る

ヤドカリ

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[答1216] 頂点から対辺への垂線で折る


 図のように、青の折り紙でできた 最小の辺の長さが 8 である鋭角三角形があり、

 それぞれの頂点から対辺におろした垂線で折ると、

 隠れていない表の部分の面積比が 広い順に 64:55:20 であるとき、最大の辺の長さは?


[解答]

 △ABCにおいて、BC=a,CA=b,AB=c ,a>b>c とします。

 また、表の隠れていない部分の面積を全体の 64/S,55/S,20/S とします。

 AからBCにおろした垂線をAHとすれば、BH=c・cosB ,CH=b・cosC なので、

 (CH-BH)/BC={(a2+b2-c2)/(2a)-(c2+a2-b2)/(2a)}=(b2-c2)/a2 になり、

 AHで折れば、隠れていない部分の面積は全体の (b2-c2)/a2 になります。

 同様に、B,Cから対辺におろしたの垂線で折ると、(a2-c2)/b2 ,(a2-b2)/c2 です。

 ここで、

 (a2-c2)/b2-(b2-c2)/a2=(a4-a2c2-b4+b2c2)/(ab)2=(a2+b2-c2)(a2-b2)/(ab)2>0 、

 (a2-c2)/b2-(a2-b2)/c2=(a2c2-c4-a2b2+b4)/(bc)2=(b2+c2-a2)(b2-c2)/(bc)2>0 、

 となって、(a2-c2)/b2>(b2-c2)/a2 ,(a2-c2)/b2>(a2-b2)/c2 です。

 よって、(m,n)=(20,55) または (m,n)=(55,20) として、

 (a2-c2)/b2=64/S ,(b2-c2)/a2=m/S ,(a2-b2)/c2=n/S となります。

 (a2-c2)/b2=64/S より、64b2=(a2-c2)S で、

 (b2-c2)/a2=m/S ,(a2-b2)/c2=n/S より、b2-c2=ma2/S ,a2-b2=nc2/S 、

 辺々加えると a2-c2=(ma2+nc2)/S 、(a2-c2)S=ma2+nc2

 よって、64b2=ma2+nc2 になります。

 また、ma2/S=b2-c2 ,a2-b2=nc2/S として 辺々乗じると、、

 ma2(a2-b2)/S=nc2(b2-c2)/S 、ma2(64a2-64b2)=nc2(64b2-64c2) 、

 ma2(64a2-ma2-nc2)=nc2(ma2+nc2-64c2) 、m(64-m)a4-2mna2c2+n(64-n)c4=0 です。

 (m,n)=(20,55) のとき、20・44a4-2・20・55a2c2+55・9c4=0 、4・4a4-2・20a2c2+9c4=0 、

  (4a2-9c2)(4a2-c2)=0 、a>c より a2=9c2/4 、

  64b2=ma2+nc2=20・9c2/4+55・c2=100c2 、b2=25c2/16 、

  a2:b2:c2=9/4:25/16:1=36:25:16 、a:b:c=6:5:4 です。

 (m,n)=(55,20) のとき、55・9a4-2・55・20a2c2+20・44c4=0 、9a4-2・20a2c2+4・4c4=0 、

  (9a2-4c2)(a2-4c2)=0 、a>c より a2=4c2

  64b2=ma2+nc2=55・4c2+20・c2=240c2 、b2=15c2/4 、

  a2:b2:c2=4:15/4:1=16:15:4 、a:b:c=4:√15:2 です。

 a:b:c=6:5:4 または 4:√15:2 ですので、c=8 のとき、a=12,16 です。

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Comments 6

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ひとりしずか  
No title

カラスウリですか?
夜間だけ咲く花、花びらの先の糸くずまできれいに開いていて~
散歩で見かけることがあります

スモークマン  
No title

グーテンターク ^^
AH=hとすれば...
(BH-CH)(BH+CH)=BH^2-CH^2=(c^2-h^2)-(b^2-h^2)
BH+CH=a なので、(BH-CH)/a=(b^2-c^2)/a^2 になるわけですね ☆
その後も、なかなか難しぃ...^^;
わたしゃ、手計算じゃ無理と...立式をPCに計算してもらいましたぁ ^^;...

あっても良さそうな問題なのに、初見なのは複雑すぎるから敬遠されてたのだと思ったり...? Orz~

POPS  
No title

こんばんは。
この花なんでしたっけ?
もじゃもじゃした感じがまた不思議ですね。
ナイス

ヤドカリ  
No title

ひとりしずかさん、早速のコメントとナイス!をありがとうございます。
仰る通り、カラスウリの花です。
夜に咲く花ですが、一部は朝まで綺麗に咲いていました。

ヤドカリ  
No title

スモークマンさん、コメントをありがとうございます。
なかなか計算が厄介な問題でした。
見た目と違って、複雑でしたね。

ヤドカリ  
No title

POPSさん、コメントとナイス!をありがとうございます。
写真の花はカラスウリの花です。
夜に妖艶な姿で咲くのもいいですね。