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[答1217] 漸化式で表された数列

ヤドカリ

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[答1217] 漸化式で表された数列


 a1=a2=a3=7,a370=1111,an+1an+4+anan+3=an+2an+3+an+1an+2 (n=1,2,3,……) で表される、

 すべての項が自然数である数列{an}において、a40=? また、a41=?


[解答]

 an+1an+4+anan+3=an+2an+3+an+1an+2 より、

 an+1an+4-an+1an+2=an+2an+3-anan+3 、an+1(an+4-an+2)=an+3(an+2-an) 、(an+4-an+2)/an+3=(an+2-an)/an+1

 a3-a1=0 より、a5-a3=0 ,a7-a5=0 ,a9-a7=0 ,…… となって、

 nが奇数であれば an=a1=7 です。

 nが偶数であれば、(an+4-an+2)/an+3=(an+2-an)/an+1 において、

 an+3=an+1=7 なので、an+4-an+2=an+2-an

 よって、数列 a2,a4,a6,a8,…… は等差数列になり、an は n の1次式です。

 an=pn+q とおけば、a2=2p+q=7 ,a370=370p+q=1111 より、p=3 ,q=1 、an=3n+1 です。

 よって、すべての項が自然数になり、a40=121 ,a41=7 です。

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Comments 12

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ひとりしずか  
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お帰りなさい

赤一色で……何というお花でしょう~

アキチャン  
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おはようございます。
お約束通りの1週間🎵😍🎵。
この真っ赤が良いですね😃

ゆうこ つれづれ日記  
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お久しぶりです。
元気でしたか?
毎日暑くて大変でしょう。

真っ赤なお花、沖縄の花ですか~?
ナイス☆

ニリンソウ  
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お帰りなさい。
里かえりでしたかお盆です。
赤い花はデイゴかな、見たことないんですけど。

スモークマン  
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グーテンターク ^^
おかえり遊ばせ♪
解答のように気づけましたぁ ^^v

まだまだ暑い日が続きますのでご自愛のほどぉ~m(_ _)m~

ヤドカリ  
No title

ひとりしずかさん、早速のコメントとナイス!をありがとうございます。
ヒシバデイゴ(サンゴシトウ)の花です。
赤がよく目立つ花です。

ヤドカリ  
No title

アキチャンさん、早速のコメントとナイス!をありがとうございます。
こちらは台風の影響もなく、予定通りに帰れました。
赤がよく目立つヒシバデイゴです。

ヤドカリ  
No title

ゆうこさん、早速のコメントとナイス!をありがとうございます。
暑さに耐えながらも、何とか過ごしています。
北海道は急に涼しくなっているようですね。
デイゴは日本では沖縄にしか自生しないようですが、
このヒシバデイゴは交配種のようです。

ヤドカリ  
No title

ニリンソウさん、コメントをありがとうございます。
お盆の前でしたが、義父母の墓参りでした。
赤い花はヒシバデイゴです。当方では時々見ます。

ヤドカリ  
No title

スモークマンさん、コメントとナイス!をありがとうございます。
この問題は何項かを求めれば、どんな数列かが分かりますね。
貴殿こそ、患者さんになることのないようご自愛ください。

樹☆  
No title

我が家の近くの公園にはアメリカデイゴが
ありますが・・
それより、色鮮やかで、印象的な花ですね。

ヤドカリ  
No title

樹ちゃん、お久しぶりです。
コメントとナイス!をありがとうございます。
アメリカデイゴも赤がきれいですね。
ただ、アメリカデイゴは花がもう少し大きく、写真に撮ると色が飛びやすいです。