FC2ブログ

Welcome to my blog

[答1218] 三角比の値の計算

ヤドカリ

ヤドカリ


'


[答1218] 三角比の値の計算


 A=cos(π/7)-cos(2π/7)+cos(3π/7) ,B=cos(π/7)・cos(2π/7)・cos(3π/7) とするとき、(A,B)=?


[解答1]

 2A・cos(π/14)=2cos(π/7)・cos(π/14)-2cos(2π/7)・cos(π/14)+2cos(3π/7)・cos(π/14)

  =cos(3π/14)+cos(π/14)-cos(5π/14)-cos(3π/14)+cos(7π/14)+cos(5π/14)=cos(π/14) 、

 A=1/2 です。

 B=cos(π/7)・cos(2π/7)・cos(3π/7)=-cos(π/7)・cos(2π/7)・cos(4π/7) 、

 8B・sin(π/7)=-8sin(π/7)・cos(π/7)・cos(2π/7)・cos(4π/7)

  =-4sin(2π/7)・cos(2π/7)・cos(4π/7)=-2sin(4π/7)・cos(4π/7)=-sin(8π/7)=sin(π/7) 、

 B=1/8 です。


[解答2]

 θ=π/7,3π/7,5π/7 とすれば、4θ+3θ=π,3π,5π 、cos4θ+cos3θ=0 になり、

 2cos22θ-1+cos3θ=0 、2(2cos2θ-1)2-1+cos3θ=0 、

 8cos4θ-8cos2θ+1+4cos3θ-3cosθ=0 、(cosθ+1)(8cos3θ-4cos2θ-4cosθ+1)=0 、

 cosθ≠-1 なので、8cos3θ-4cos2θ-4cosθ+1=0 、

 8x3-4x2-4x+1=0 の解が x=cos(π/7),cos(3π/7),cos(5π/7) になり、

 cos(5π/7)=-cos(2π/7) なので、解と係数の関係により、

 cos(π/7)+cos(3π/7)-cos(2π/7)=1/2 ,-cos(π/7)・cos(3π/7)・cos(5π/7)=-1/8 、

 A=1/2 ,B=1/8 です。


[解答3]

 7点 (cos(kπ/7),sin(kπ/7)) (k=1,3,5,7,9,11,13) は原点を中心とする正七角形の頂点になり、

 そのx座標の和は 0 になりますので、

 cos(π/7)+cos(3π/7)+cos(5π/7)+cosπ+cos(9π/7)+cos(11π/7)+cos(13π/7)=0 、

 cos(π/7)+cos(3π/7)-cos(2π/7)-1-cos(2π/7)+cos(3π/7)+cos(π/7)=0 、

 2A-1=0 、A=1/2 です。

 B=cos(π/7)・cos(2π/7)・cos(3π/7)=(1/2){cos(3π/7)+cos(π/7)}cos(3π/7)

  =(1/2){cos2(3π/7)+cos(3π/7)・cos(π/7)}=(1/4){1+cos(6π/7)+cos(4π/7)+cos(2π/7)}

  =(1/4){1-cos(π/7)-cos(3π/7)+cos(2π/7)}=(1/4)(1-A)=(1/4)(1-1/2)=1/8 です。

.

スポンサーサイト



Comments 10

There are no comments yet.
ひとりしずか  
No title

ハギに似て禊(みそぎ)に使ったことがミソハギの和名の由来なんですね
散歩で見かけない花なんです~
当地でも盆花に使われているのかなぁ~

スモークマン  
No title

グーテンターク ^^
正7角形から、A=1/2はわかりましたが...
積の方の求め方気づけず ^^;
積は[解答2]がうまいですね Orz~☆

POPS  
No title

こんばんは。
綺麗な花ですね~。(名前何だっけ?)
濃厚な紫の花の色合いが清涼感があっていいですね。
ナイス

ニリンソウ  
No title

ミゾソバの花お盆にふさわしいですね。
この方は今日が墓参りでした。

ヤドカリ  
No title

ひとりしずかさん、早速のコメントとナイス!をありがとうございます。
こちらでもたまにしか見かけません。
妻の実家近くに、多分育てているだと思いますが、たくさん見られる場所があります。

ヤドカリ  
No title

スモークマンさん、コメントとナイス!をありがとうございます。
和や積を求めるとき、解と係数の関係がけっこう役立ちます。
そんな雰囲気の問題だと思います。

ヤドカリ  
No title

POPSさん、コメントとナイス!をありがとうございます。
ミソハギという、地方によっては盆花として使われる花です。
それだけに、この時期に綺麗に咲きます。

ヤドカリ  
No title

ニリンソウさん、コメントをありがとうございます。
ミソハギの花、仰るように盆花として相応しいですね。
ところで、私も墓参りは済ませました。

アキチャン  
No title

こんばんは
ミソハギと言うのですね。
たくさん咲いて綺麗ですね😃

ヤドカリ  
No title

アキチャンさん、コメントとナイス!をありがとうございます。
私は人混みが苦手ですが、花が密集して咲く姿は好きです。
残暑の中、ミソハギは元気に咲いています。